Teoria delle suPERFfciE 
sa 
punt 
altre hanno ivi lo stesso piano tangente ; dunque l'a n 
d’ordine 6(» - l) 2 può anche definirsi il lue 
di contatto fra le superficie della rete. 
107. Date cinque reti proiettive di superficie d’ordini n 4 , n 2 , « 5 , n i9 n 5 , 
quanti sono i punti pei quali passano cinque superficie corrispondenti ? Le pri- 
me due reti combinate colla terza, poi colla quarta e da ultimo colla quinta, 
generano (103) tre superficie d’ordini « 1 -4- n 2 -t-» 3 , n f -j-n 2 + ^+^ + «5, 
che hanno in comune la curva d’ordine tq 2 -+. n 2 2 ■+■ n { n 2 relativa (102) alle 
prime due reti. Si calcoli il rango di questa curva, osservando che (102) essa, 
insieme con un altra curva d’ordine n t n %. forma la completa intersezione di 
due superficie d’ ordine w t + n 2 . Quest* ultima curva, essendo la completa in¬ 
tersezione di due superficie d’ ordini n, , n 2y ha per sviluppabile osculatri¬ 
ce (95) una superficie d’ ordine n, -t- n 2 - 2) ; dunque il rango della 
curva (n* -h n 2 2 -4- n t n 2 ) sarà (96) 2(», -4- «, - 1)(« * -4- » 2 ) -h 
»!%(«! ■+* «2 “ 2). 
Ciò premesso, le ire superficie d’ ordini n t -4- n 2 — « 3 , n t -4- n 2 4 - n 4 , 
n i + n 2 -+- n 5 > passando insieme per la predetta curva (n 2 -4- nJ- -4- n,n.) 
avranno (97), all’infuori di essa. 
( n i + n 2 + n 3 )( n i -+• n 2 + n J(«i -+- «2 + n 5 ) 
- (V + « 2 2 + tt i n 2 )[( n t -t- » 2 -+■ n 3 ) -4- (n 4 -t- n 2 + -4- (n t -4- n 2 + n B ) -2] 
-h 2(n, -4- « 2 - 1)(V -t- n 2 2 ) -4- n 4 n 2 (» 4 h- n 2 - 2) 
Il numero dei punti pei quali passano cinque superficie 
corrispondenti di cinque reti prò jet ti ve d’ordini n tJ n 2 ,..n 5 , è 
«t¥3 + Wt + -. + W s - 
Questi punti sono situati nelle dieci superficie generate dalle reti prese a -tre 
a tre (103), ed anche nelle cinque curve generate dalle reti prese a quat¬ 
tro a quattro (105). 
108. Quale è il luogo di un punto che abbia lo stesso piano polare ri¬ 
spetto ad una superficie data d’ ordine n { e rispetto ad una delle superficie 
di una rete d’ordine « 2 ? Sia x un punto qualunque di una trasversale ; X il 
piano polare di x rispetto alla superficie (nj. Il luogo dei poli di X rispetto 
alle superficie (« 2 ) è (104) una superficie d’ ordine 3(n 2 —1), che incon¬ 
trerà la trasversale in 3(n 2 — 1) punti x '. Viceversa, assunto ad arbitrio nel¬ 
la trasversale il punto x ', i piani polari di x' rispetto alle superficie (1*2) for¬ 
mano una rete (74), cioè passano per uno stesso punto, epperò fra essi ve ne sa¬ 
ranno n i — 1 tangenti alla sviluppabile (87) inviluppata dai piani polari dei 
punti della trasversale, rispetto alla superficie (iq). Questi n, — 1 piani sa¬ 
ranno polari (rispetto alla superficie (n t ) ) dì altrettanti punti x della trasver¬ 
sale; dunque: 
Il luogo di un ponto che abbia lo stesso piano polare 
rispetto ad una superficie fissa d’ ordine tq e ad alcuna 
delle superficie di una rete d’ ordine « 2 , è una superficie 
d’ ordine » t -4- 3n 2 — 4 . 
