Teoria delle superficie 
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sistemi lineari proiettivi d’ ordini n 4 — 1, n 2 — 1 9 n 3 — !. Per 1* ipotesi fat¬ 
ta, x è l’intersezione delle prime polari di ogni punto di X, ossia un punto 
pel quale passano infinite terne di superficie corrispondenti de’ tre. sistemi pro¬ 
iettivi suddetti; dunque (112) il luogo richiesto è una curva gobba d’ordine 
K — 1 ) 2 ( n 2— l) 2 •+■ («3 — t) 2 ■+■ («2 — 1)K — I) + («3 - f)(n 4 — 1) 
-h (n 1 — l)(i» a — 1), alla quale daremo il nome di Jacobiana delle tre super¬ 
ficie date. Dunque: 
La Jacobiana di tre superficie d’ordini , n 2 , n 3 , os¬ 
sia il luogo di un punto i cui piani polari rispetto al¬ 
le superficie date passino per una medesima retta, è una 
curva gobba d’ordine nf -+- n 2 2 -4- n 3 2 -h n 2 n 3 -+- n 5 n 4 -t- n 4 n 2 — 
pei punti di contatto fra le superficie 
date, e pei loro punti doppi (se ve ne sono). 
La stessa curva passerà anche pei punti che hanno un medesimo piano po¬ 
lare rispetto a due dello superficie date; ossia la Jacobiana di tre su¬ 
perficie passa per le Jacobiane delle stesse superficie 
prese a due a due (111). 
Se n 3 = n 2 , il piano polare del punto x rispetto alla superficie (n t ), pas¬ 
sando per La retta secondo la quale si segano i piani polari dello stesso pun¬ 
to rispetto alle superficie del fascio determinalo dalle due date superficie d’or¬ 
dine n 2 , coinciderà col piano polare di x rispetto ad una superficie del fa¬ 
scio; quindi: 
11 luogo di un punto che abbia lo stesso piano polare 
rispetto ad una superficie fissa d’ordine n } e ad alcuna 
delle superficie d'un fascio d’ ordine n 2 , è una curva gob¬ 
ba d’ordine n 4 2 -+- 3n 2 2 ■+> 2n 4 n 2 — 4n 4 — 8n 2 -+- 6 , che passa pei 
punti doppi del fascio. 
I punti in cui questa curva incontra la superficie fissa sono evidentemente 
quelli in cui questa superficie è toccata da qualche superficie del fascio; dun¬ 
que : 
II numero delle superficie di un fascio d' ordine n 2 che 
toccano una superficie fissa d’ ordine n 4 è 
n i (n 1 2 -+* 3n 2 2 ■+■ 2n 1 n 2 — — 8n 2 -+- 6). 
Se n t = t> 2 , le tre superficie date determinano una rete, ed i piani 
polari del punto x rispetto a tutte le superficie di questa, rete passeranno per 
una medesima retta. Si ritrova così un teorema già dimostrato (106); dunque: 
11 luogo di un punto i cui piani polari rispetto alle su¬ 
perficie di una rete d’ ordine n passino per una stessa 
retta, ossia il luogo dei punti doppi delle superficie di 
questa rete, ossia il luogo dei punti di contatto fra le 
superficie della rete medesima, è una curva gobba d’or¬ 
dine 6(n — I) 2 . 
fi questa curva possiamo dare il nome di Jacobiana della rete. 
Se una delle superficie date è un piano, il piano polare relativo ad essa 
coincide col piano dato; dunque: 
t. vii. 
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