Teoria delle superficie 
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contenuto nel primo sistema dato ed i sistemi inferiori corrispondenti negli al¬ 
tri sistemi dati generano una superficie d'ordine s m + 2jl (118). Due super¬ 
ficie d’ordine s m + 2 , 15 così ottenute, corrispondono per ciascun sistema dato 
a due sistemi inferiori di genere m + 1 (contenuti in uno stesso sistema 
dato), i quali avranno in comune un sistema minore di genere m. Per¬ 
ciò le due superficie contengono la curva d’ ordine s m + 2 , 2 generata (119) 
dagli m + 3 sistemi minori corrispondenti di genere m ; e quindi si segheran¬ 
no lungo un’altra curva d’ordine s 2 )rt + 2M — s m + 2 , 2 ; la quale è situata in 
tutte le analoghe superficie d'ordine s„j + 2 ,( (*), epperò è il luogo dei punti 
pei quali passano infiniti gruppi di m -+- 2 superficie corrispondenti di altret¬ 
tanti sistemi lineari projettivi di genere m + 2. 
Dunque, se m sistemi di genere m generano una curva d'ordine f { 
— Sin9 2> anche m- i-2 sistemi di genere m-h 2 genereranno una curva d’or¬ 
dine s 2 », + 2 , i — s m + 2 , 9 ; e l’ordine della curva generata da m + 2 sistemi 
di genere m sarà s,„ + 2 . 2 . Ora l’ipotesi fatta ha luogo per m = 1, 2, 3; 
per conseguenza ecc. 
121. Ammettiamo che il rango della curva d'ordine $ m , 2 generata (120) 
da m sistemi lineari projettivi di genere m — 2 sia 
( s m m — 2) S m , 2 *4- Sm , 3 . 
Allora, siccome questa curva, insieme con quella d’ordine ***,, — s m , 2 gene¬ 
rata da m sistemi lineari projettivi di genere m (de’ quali facciano parte come 
sistemi minori corrispondenti gli anzidetti sistemi di genere m — 2), forma la 
completa intersezione di due superficie d’ordine (121), così il rango 
dell' ultima curva sarà (96) 
*(*M - W m ,i “ »*.,*) + (*.,1 - 2) s„., 2 + . 
Quest' ultima curva, insieme con quella d’ ordine Sm + 2 , 2 generata da 
m-h 2 sistemi lineari projettivi di genere m (de’ quali i primi m siano i già 
nominati), costituisce 1’ intersezione completa di due superficie d’ ordini 
+ Sm9 { -+-n BI+2 (120); dunque (96) il rango della curva d’or¬ 
dine f m + 2 ,2 sarà 
(Sm 91 "*"S»i*f-2M (®m «4- 2 » 2 9 i J St) 
*+* 2(s m5l — l)(i 2 OTJi — 2s Wi , 2 ) •+• (Sm,1 — 2) 
(*/« + 2M“ 2 ) < « + 2J2 + *»i + 2J3 
avuto riguardo alle identità superiori (119). Ora la verità dell’ipotesi ammes¬ 
sa è stata dimostrata per m= 1, 2, 3; dunque: 
11 luogo di un punto pel quale passino infiniti gruppi 
di m superficie corrispondenti (d’ordini n,,n 2 ,..) di al¬ 
di terzo genere (112). 
