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Luigi Cremona 
quella del secondo che passa pel punto medesimo; ma P 21 è una superficie 
del secondo fascio e contiene intera la curva base del primo, dunque ecc. 
Similmente la superficie O è toccata lungo la curva base del secondo fascio 
dalla superficie P 22 del medesimo, che corrisponde alla superficie del pri¬ 
mo. Nei punti comuni alle basi dei due fasci, $ è adunque toccata da entram¬ 
be le superficie P H e P 22 . Ma queste due superficie, essendo date ad arbi¬ 
trio, non hanno in generale alcun punto di contatto; dunque i punti comuni 
alle tre superficie P H , P l2 , P 22 sono doppi per la superficie $. Ossia: 
La superficie generata da d u e f a s c i p r o j e t ti v i di super¬ 
ficie d ordine n, formanti un complesso simmetrico ha 
n punti doppi. 
Le superficie d’ ordine n passanti per gli n 3 punti suddetti formano una 
rete., epperò tutte quelle che passano inoltre per un punto arbitrario (che pren¬ 
deremo in $). costituiscono un fascio. La curva d’ ordine n 2 , base di questo 
lascio, avendo cosi 2 ri 5 -+- 1 intersezioni comuni con O, che è d’ ordine 2n 
giace per intero su questa superficie. Dunque ogni superficie d’ ordi¬ 
nar P • S S ? ° * per gli n 5 punti doppi di <D sega questa su- 
perfide lungo due curve separate d'ordini n 2 , interse- 
cantisi ne punti suddetti. Per ciascun punto di $ passa 
una curva siffatta, che è la base di un fascio di superficie 
/in 0 /™ 0 ? DUe qU ? ,anque di . tali curve sono situati in 
e esima superficie d' ordine n, epperò non possono avere 
altri punti comuni, fuori di quegli n 5 . 
Queste due curve sono le basi di due fasci d’ordine n, fra i quali se può 
stabilire tale corrispondenza proiettiva che la superficie da essi generata sia 
appunto In fatti una superficie dell’un fascio, passando per la curva base 
V eC . 0nd ° r. DUOVa carva d ’ ordine ,a i^ieme colla 
base dell altro fascio individua la corrispondente superficie di questo. Ma vi 
na superficie la quale, contenendo entrambe le curve basi, appartiene al- 
uno ed all altro fascio. Come appartenente al primo fascio, essa se- 
SL , ln una n " ov ? curva che coincide colla base del secondo fascio. Dun¬ 
que la superficie che in esso secondo fascio le corrispon- 
secnnH f à * due CUrve coincidenti nella base del 
curva P as J 10 . mede81 ™°j ossia toccherà $ lungo questa 
irva. ter tal guisa è manifesto che le curve d’ ordine n 2 pas- 
di n cont e L gl ! n2 r° lì d0ppi sono . CB ^e (caratteristiche) 
nenti alla r r ^ 6 ce * te superficie d’ordine n, apparte- 
Plicemen/infi °,f a * * l’inviluppo (47) di una M rii> 'en¬ 
trano de ^ ,due de,,e quaIi P assano P er un P UDt0 arbi " 
tL d SP ? Z, ° )} fra ,e quali si trovano anche P tl eL 
b. Ora sia tn — 2, cioè si consideri il complesso simmetrico 
