Luigi Cremona 
Analogamente,4a superficie $ 12 (della rete $ tl , $ 12 ,..) e la superficie $ 22 (della 
rete $ 2l , $ 22 ,..) corrispondono allo stesso fascio (P 31 , P 33 ) della terza rete 
data e rispettivamente ai fasci (P 2l , P 23 ), (P u , P 13 ) della seconda e della pri¬ 
ma rete^; perciò quelle superficie conterranno, oltre alla curva P 31 p fe 
curva d’ordine 3n 2 , generata dai detti tre fasci, che sono projetlivi. La qual 
curva è anche situata nella superficie Y, perchè quei tre fasci sono corrispon¬ 
denti nelle tre reti date. 
Così pure una superficie qualunque $ ir del fascio ($ H , 4> 12 ) e la superficie 
corrispondente $ 2r del fascio projettivo (* sl , $ 22 ) (le due superficie corrispondono 
ad un medesimo fascio della terza rete data) avranno in comune non solo una 
curva (base di questo fascio) d’ordine n 2 , situata su P 33 e sopra una super¬ 
ficie del fascio (P 3l , P 32 ), ma anche una curva d’ordine 3n 2 generata da tre 
fasci corrispondenti, epperò situata su ¥. Ne segue che ¥ e P._ formano 
insieme il luogo completo generato dai fasci projettivi ($ 41 , $ 12 ), ($ $ ). 
Siccome questi fasci costituiscono un complesso simmetrico, così (125) la 
superficie ¥ è toccata da «D a e da secondo due curve 
ordine 3f» 2 che giacciono in $ 12 ; ed i punti doppi di ¥ 
sono i punti comuni alle tre superficie $ a , $ 22 , Ora, si è vedu¬ 
ti sopra che queste superficie sono toccate simultaneamente da P r negli 
* «r deI,a terz - a rete dala ’ e cìascDno di questi punti di contatto as- 
sorpe ili quattro punti d’intersezione dell/» ir* cnonfioia a. ,i., n r,., A i« * 
perfi 
(21) quattro punti d’intersezione delle tre superficie dunque la „ „ 
¥ ha (2n) 3 — An z = 4n 3 punti doppi, pei quali passano tutte 
le superfìcie 0. 
DaJIe cose or dette risulta inoltre: 
l’\ Che * ’ nsieme con P 33 , è l’inviluppo di una serie semplicemente in- 
Z Jl S "P e . rficie > • °S DÌ su P erficie *rr è l’inviluppo di una se¬ 
ne analoga di superficie d'ordine n, come P rr ; e viceversa ogni superficie P rr 
dà luogo ad una sene di superficie * rr , il cui inviluppo è costituito da ¥ e dalla 
mini su P er " c * e ®rr tocca ¥ lungo una curva caratteristica d’ordine 3n 2 , 
mentre ciascuna P rr tocca ¥ in n * punti (punti-base di una rete di superficie 
* 2 ’°in C f e ,7 è anche 1 iI ll, °S° de * P«nti doppi delle superficie 
rr. *0 ratti un punto doppio di <l> u è situalo in tutte le superficie del fascio 
* d l" 1 " 11 ®. q »® ,le deI fascio (P 32 , p 33 ); e per esso passerà anche 
tre sunp fi * 1G de .^ asc, ° l^ia* *\s)* Epperò il punto medesimo, appartenendo a 
2 i T C,e corrispondenti dei tre fasci suddetti (che sono contenuti nelle tre 
eli date), sarà un punto del luogo Y. 
to m ° d ° s r ig,iante si P u ? costr °i r e la superficie ¥ luogo di un pun- 
quale si seghino tre superficie corrispondenti di tre reti proiettive: 
( p > Q> R, 
(P f , Q\ R', 
(P", 0', R",..) 
d ordini n, n’, n", le quali non formino un complesso simmetrico (103). 
