Teorìa delle superficie 
71 
costituito da quattro sistemi lineari (di terzo genere) projettiri di superficie d’ordi- 
ne nodose P i2 = P 21 i> 13 = P 31 , P u = P li9 P 23 =P 32 , Pu = P^ 
Pu = Ptf' La superficie A d’ordine 4n, luogo di un punto comune a quat¬ 
tro superficie corrispondenti (114), può essere costruita nel modo seguente. 
Le tre reti proiettive (P 23 , P ìz , PJ, (P 5S , P ^ pj, (p p pj 
danno (126) una superficie ¥„ d’ ordine 3n, che « toccata dalla‘superficie 4>, 
generata dai fasci (P 53 , PJ, (P 43 , PJ, secondo una curva d’ordine 3n* 
(situata sulla superficie generata dai fasci (P 32 , Pj, (p pj ovvero dai 
fasci (P 23 , PJ (P i5 , PJ), h quale è il luogo di un pualo nel quale si 
seghino tre superficie corrispondenti dei fasci proj etti vi (P 23 ,PJ, (P 35 ,P 34 ), 
(P 439 Pu)-. 
In somigliante maniera, le tre reti proiettive (P i{J P i5 , P J, (P 31 , P 33 , Pj, 
( p u 9 p i 3 9 P u ) generano una superficie ¥ 22 d’ordine 3n, che è toccata dal¬ 
la superficie O secondo una curva d’ ordine 3r» 2 (situala sulla superficie gene- 
rata dai fasci (P. PJ, {P iz ,PJ ovvero dai fasci (P 3Ì ,PJ, (P U ,PJ), 
la quale è il luogo di un punto comune a tre superficie corrispondenti dei 
fasci proiettivi (P l3 , PJ, (P 33 , Pj, (P 43 , PJ. 
E le tre reti proiettive (P 2i ,P 23 , PJ, (P 31 , P 33 ,Pj, (P 41 ,P 43 ,PJ, 
0 ciò che è la stessa cosa (128) le tre reti proiettive (P 12 , P^, PJ, 
(P 32 ? ^33 > ^ 34 )» (^42 9 £*43 ; P 44 ) generano una superficie ¥ 12 0 Y 2l d’or¬ 
dine 3n, che è segata dalla superficie secondo le due curve d’ ordine 3n 2 
ora menzionate. Donde segue che i punti comuni a queste due curve, ossia i 
4n 3 punti (100) pei quali passano quattro superficie corrispondenti dei fasci 
proiettivi (P 13 , PJ, (P 23J PJ, (p 33 , pj } (p 43j pj sono ta H che in 
ciascuno d essi la superficie $ tocca tutte e tre le superficie 
*i 2 . 
Le superficie , ¥ 12 determinano un fascio proiettivo al fascio (P 42 , Pj. 
Se P 4 r è una superficie qualunque di quest'ultimo fascio, e se P 3r , P 2r , P {r 
sono le superficie corrispondenti dei fasci (P 32 , Pj, (P 22 , PJ, (P 12 , Pj, 
la superficie corrispondente ¥ lr del fascio (¥ H ,¥ 12 ), sarà generata dalle reti 
proiettive (P 2r , P 23 , Pj, (P 3r , P 33 , PJ, (P 4r , P 45 , PJ. 
Le superficie ¥ 2i , Y 22 determinano un altro fascio proiettivo allo stesso 
fascio (P 42 , PJ anzidetto. La superficie ¥ 2r del fascio (T S1 , ¥j che cor¬ 
risponde a P 4r , è generata dalle reti proiettive (P. r , P 13 , Pj, (P 3r , P 33 , 
£*34) 9 (£V » £*43 ^ P44) • 
Le due superficie Y ir , ¥ 2r d'ordine 3n passano insieme per la curva d’or¬ 
dine 3n 2 generata dai fasci (P r3 , pj, (p 33 , pj e situata sulla superficie 
9, e si segheranno perciò secondo un’ altra curva d’ ordine 6n 2 , luogo di un 
punto (105) comune a quattro superficie corrispondenti di quattro reti proj’et- 
live (P ir , P l3 , PJ, {P„,P is ,PJ, ( Pzr , p 7 ,, pj, (P ir ,P„,Pj. 
Questa curva appartiene alla superficie A, perchè queste tre reti sono corri¬ 
spondenti nei sistemi dati, dunque i fasci proiettivi (Y lt , ¥j, (Y 9l , ¥ 22 ) 
generano un luogo composto della superficie $ d’ ordine 2n e della superficie 
A d’ ordine 4n. 
Per conseguenza (125) i punti doppi del luogo composto saranno le inter¬ 
sezioni delle tre superficie "'fj, , 'P 22 , 1 P 12 . Ma queste tre superficie hanno 
4n 3 punti di contatto, i quali equivalgono a 4.4n 3 intersezioni: dunque il un- 
