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Luigi Cremona 
mero de' punti doppi è (3n) 3 — 4. 4n 3 = lln 3 . Ora i punti doppi di $ sono 
le n° intersezioni delle superficie P 33 , P U9 P u ; perciò la superficie A 
ha IO» 3 punti doppi situati sopra tutte le superficie ana- 
leghe a ¥ ia ,... 
Siccome la superficie A è generata (insieme con $) per mezzo di due fasci 
proiettivi costituenti un complesso simmetrico, così essa sarà toccata dalle su¬ 
perficie ¥ u , ¥ 22 e da tutte le analoghe secondo altrettante curve caratteri¬ 
stiche d’ordine 6 n*; e le curve di contatto di due superficie ’ < Sr il , y sa¬ 
ranno situate insieme in una medesima superficie ¥ 12 * ’ 22 
Inoltre A può definirsi come il luogo dei punti doppi del¬ 
le superficie Y u , Y 22 ,... In fatti i punti doppi di ¥ lt sono (126) 
quelli comuni ad infinite superficie, come p. e. quelle generate dalle coppie 
di fasci projettivi: 
(Pu, Pu) f 
* 33 ), 
(Pm P u ), 
(Pi 3 , Pu), 
(P&> Pi 3 ), 
(Pi^ Pu), 
(Pu, Piz), 
eccettuati però i punti comuni alle superficie P 42 , P 43 , P u . Dunque, se x 
j “ n f ° . ,? ue ! P unti doppi, P er * passano due superficie corrispondenti A *, A , 
dei fasci /), due superficie corrispondenti P 3 , P 4 dei fasci m), due superficie 
corrispondenti C 2 , C 4 dei fasci h) e due superficie corrispondenti P 2 , B, dei 
lasci k). I fasci della colonna a destra sono compresi in una medesima rete 
j *• ^ >43 9 j e le superficie di una rete che passano per un 
medesimo punto x (che non è un punto-base della rete ) costituisco¬ 
no un fascio: dunque le superficie A it B iy C appartengono ad uno 
stesso fascio, contenuto nel quarto dei sistemi dati. Ed ai fasci che a 
questo corrispondono nel secondo e nel terzo sistema dato apparterranno rispet¬ 
tivamente le coppie di superficie (P 2 , Q, (A Zì P 3 ). Il punto a?, comune a 
tutte queste superficie, è per conseguenza un punto-base comune a tre fasci 
corrispondenti in tre dei sistemi dati (il secondo, il terzo, il quarto}. Per x 
SUSHI? f? he n na su P erficie . del fascio che a quelli corrisponde nel primo 
. * t _ a . °j . uoqu ? x è s * luat0 quattro superficie corrispondenti dei quat¬ 
tro sistemi dati, ossia # è un punto del luogo A, c.d d 
J*°- Coaderiamo da ultimo la superficie A d’ ordine mn, luogo di un 
Lfivi J 103 6 PaSSID ^ m j, a P e ^ c,e corrispondenti di m sistemi lineari pro- 
1 • 1 f en ere m 1 e d ordine n. Il complesso degli m sistemi suppon¬ 
gasi da prima non simmetrico, e le superficie che individuano i sistemi mede¬ 
simi costuiscano la matrice quadrata 
