SULLE PROPRIETÀ GENERALI EC. 
413 
Monge per le superficie rigate a piano direttore, trovò 
F ordinario elicoide a direttrice rettilinea. Nel secondo caso 
egli osservò che la curva meridiana deve avere il raggio 
di curvatura eguale ed opposto alla porzione di normale 
terminata all’ asse, e determinandola dietro questa condi¬ 
zione trovò la catenaria (*). Era già noto, coinè osservò 
Meunier, che questa curva genera, fra le isoperimetre, la 
minima superficie di rotazione intorno ad un asse: ma il 
suo metodo fornisce la posizione dell’ asse di rotazione re¬ 
lativamente ad una catenaria di dato parametro. 
Questi due esempj di superficie d’ area minima non 
piane furono i primi ad essere conosciuti dai geometri e 
sono sommamente notevoli, tanto per la loro semplicità, 
quanto per le speciali proprietà che vi si riscontrarono in 
progresso di tempo. 
Fu solo nel 1784 che 1’ illustre Monge, in una Memoria 
sull’ integrazione delle equazioni a derivate parziali, inse¬ 
rita fra quelle dell’ Accademia di Parigi del detto anno , 
prese a considerare F equazione delle superficie d’ area mi¬ 
nima^ che Meunier aveva già interpretata geometricamente, 
e pervenne con un certo suo processo alle espressioni delle 
coordinate in funzione integrale di due quantità indetermi¬ 
nate, formole che egli presentò come equivalenti all’ inte¬ 
grale generale dell’ equazione in discorso. Questo risultato 
venne messo in dubbio da Laplace e diede luogo ( per 
quel che ce ne fa sapere Poisson ) a lunghe discussioni 
fra questi due grandi geometri. Ed invero per ottenere i 
valori finiti delle coordinate coll’ ajuto delle formole date 
da Monge bisognava integrare tre differenziali a due va¬ 
riabili che non soddisfacevano generalmente alle condi¬ 
zioni d’ integrabilità. Questa difficoltà persuase Monge a 
riprendere nuovamente la questione, seguendo un processo 
differente che lo condusse alle vere formole integrali e 
che dev’ essere sostanzialmente quello stesso col quale 
queste equazioni furono stabilite più tardi nell Art. XX 
(*) Chiameremo talvolta catenoide la superficie di rotazione d’ area minima, 
secondo la proposta di qualche scrittore. 
