E. Beltrami 
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vero La prima dimostrazione di questa interessante pro¬ 
prietà è stata data nel 1842 dal sig. Catalan nel tomo 7 
del Giornale di Liouville, ed è appoggiata all osservazione 
che se una superficie gobba ha in ciascun punto i due 
raggi di curvatura eguali e di segno contrario, ogni sezione 
piana normale ad una generatrice deve necessariamente 
avere nel suo punto comune con questa, la curvatura 
eguale a zero. Nel successivo anno (1843) Wantzel accennò, 
in una comunicazione fetta alla Sociètè Philomatique di 
Parigi, un metodo più spedito per dimostrare il teorema 
di Catalan. Questo metodo, il quale consiste nel combinare 
1’ equazione differenziale delle superficie d’ area minima 
colle equazioni di una linea retta, fu effettivamente messo 
in pratica dal sig. Serret in una Nota inserita nel tomo 
11° del Giornale di Liouville (1846), e fu anzi applicato 
ad una equazione differenziale più generale di quella delle 
superficie di cui parliamo. Partieolarizzando il suo risultato 
Serret ha trovato così per un’ altra via il teorema di Ca¬ 
talan. Nello stesso volume trovasi una Memoria di Michele 
Roberts intitolata: Sur les surfaces doni les rayons de 
courbure soni égaux , mais dirigés en sens opposès , della 
quale dovremo riparlare in breve, ed in cui questo Autore 
dimostra il medesimo teorema col processo che il sig Scherk 
aveva iniziato ma non condotto a termine, e cioè col de¬ 
terminare opportunamente le funzioni arbitrarie dell mte- 
graie di Monge. Bisogna però dire che i calcoli del sig. 
Roberts sono aneli’ essi molto complicati. Alquanto piu 
semplice è il metodo di dimostrazione che il sig. Ossian 
Bonnet dedusse più tardi dal sistema di forinole dei quale 
ha fatto uso nella estesa Memoria Sur V emploi d un 
nouveau systèrne de variables dans V étude des^ propri t s 
des surfaces courbes, pubblicata nel tomo 5 (li bene; 
del Giornale di Liouville (1860) {*). Finalmente mi per 
metterò, su questo proposito, di ricordare la dimostrazione 
(*) Merita d’ essere citata anche la dimostrazione geometrica del teorema 
in discorso data dal sig. De La Gourherie, nella 3 parte del suo ecc 
Trattato di Geometria descrittiva (1864). 
