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E. Beltrami 
perfide omotetiche, cioè simili e similmente poste, soddis¬ 
fanno a questa relazione; ma il sig. Christoffel ha com¬ 
pletamente risoluto il problema dimostrando che la condi¬ 
zione necessaria e sufficiente perchè una data superficie 
ammetta una superficie (non omotetica) associata nel senso 
anzidetto, è che le sue linee di curvatura sieno curve 
isometriche, ed ha stabilito le formole che esprimono per 
quadrature le coordinate della superficie associata, supposte 
note le espressioni delle coordinate della superficie primi¬ 
tiva in funzione dei parametri isometrici delle sue linee 
di curvatura. Quando la superficie primitiva è una sfera, 
i parametri di due sistemi ortogonali ed isometrici possono 
essere considerati come parametri delle linee di curvatura. 
In questo caso le formole di Christoffel vengono a coin¬ 
cidere con quelle di Weingarteh relative alle superficie 
minime, ed in tal guisa queste superficie si trovano, per 
dir cosi, al punto di confluenza di due eleganti teorie, 
dovute agli anzidetti geometri, e costituenti due differenti 
estensioni di quella delle superficie minime. 
Nel tomo 8° (2 a Serie, 1863) del Giornale di Liouville, 
si trovano due interessanti lavori del sig. Mathet sulla 
teoria delle superficie minime. Queste ricerche, nelle quali 
vengono utilizzate alcune proposizioni del calcolo dei qua¬ 
ternioni, si aggirano intorno ad una singolare trasformazioriè 
di curve che consiste in quanto segue. Si abbia nello 
spazio una linea qualsivoglia e per ciascun punto di essa 
sia condotta una delle sue normali, scelta con legge arbi¬ 
traria ma continua. Si faccia girare intorno a ciascuna di 
queste normali, considerata come un asse, P elemento di 
curva compreso fra la normale stessa e la normale conse¬ 
cutiva, e r angolo di rotazione sia pur esso variabile con 
legge arbitraria ma continua. Finalmente si alterino le 
lunghezze degli elementi ruotati, in modo che il loro rap¬ 
porto coi primitivi vàrii con legge arbitraria ma continua. 
Ciò posto, da un punto qualunque dello spazio si condu¬ 
cano, P una al seguito dell’ altra, delle rette infinitesime 
eguali e parallele agli elementi della curva, variati di po¬ 
sizione e di grandezza nel modo che si è detto: si otterrà 
