E. Beltràmi 
Ed in primo luogo si ha per esse 
(23) A 2 x = o, A 2 y = A 2 0 = 0? 
equazioni le quali stabiliscono, in conseguenza dei teoremi 
dati nelle citate inie Ricerche (Art. XVI), che le sezioni 
piane parallele ad uno qualunque dei tre piani coordinati 
(e quindi anche ad un piano qualunque) sono linee iso¬ 
metriche, anzi che le stesse coordinate x, y , z sono para¬ 
metri di isometria. 
E lecito prendere, come variabili indipendenti, le x, y al 
posto delle w, v: allora si ha, denotando al solito con z>, q le 
derivate parziali di z rispetto ad x e ad y: 
E — \ A- p ì , F = pq, G = 1 A- q* 
e 1* equazione A, z = o assume la forma 
che è precisamente quella sotto la quale si presenta V equa¬ 
zione differenziale delle superficie d’ area minima, quando 
se ne fa la ricerca mediante il calcolo delle variazioni, 
guest equazione esprime quindi, per ciò che s’è veduto or 
ora, che le sezioni piane della superficie, parallele al piano 
ar, sono linee isometriche, col parametro isometrico z. 
Ma questa proprietà appartiene a qualunque sistema di 
sezioni piane parallele. 
Le coordinate curvilinee u, v non essendo fin qui sog¬ 
gette a nessuna speciale restrizione, possiamo supporre che 
si prendano per esse i parametri d’ isometria di due si¬ 
stemi ortogonali isometrici, talché sia 
(24) E = G, F= o, H = E. 
In questo caso le (23) assumono la forma semplicissima: 
