Sulle proprietà generali eg. 
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(u h- da, v -+- d©). Facendola girare dell’ angolo 0 (u, v) 
intorno alla normale nel primo punto, il secondo suo 
termine passa nel punto ( u du, v -t- dv ) tale che 
du -+- idv = ( du -H idv ) e 
per essere le u 9 v coordinate isometriche (*). 
Si chiami ds F elemento così spostato e variato di lun¬ 
ghezza nel rapporto di 1 ad r(u 9 v) 9 e sieno dx, dy , dz 
(oppure dx i9 dy ì9 àz t ) le sue projezioni sui tre assi: avremo 
dx -4- idx t = (du -+- £dt>) | r e*® 9 
dy -K idy t = ( du -f- idu) 7j r e 
dz - 4 - idz t = ( du H- idv) t, r e ^. 
Ora queste equazioni acquistano la stessa forma delle pre¬ 
cedenti se si ammette che le funzioni r (u y v) 9 0 (u, v) 
sieno tali da rendere re eguale ad una semplice funzione 
della variabile complessa u ■+• iv. Infatti in tale ipotesi, 
ponendo 
c. i 0 iO r f.id C.' 
I re = f, ri r e = ire = ?, 
le tre quantità ri, sono, come le 5, funzioni della 
variabile u -t- iv 9 soggette alla condizione 
r v 2 -h r = o. 
Dunque anche i differenziali dx 9 dy 9 dz ( oppure dx %9 dy t , dz t ) 
si riferiscono agli elementi lineari di una nuova superficie 
d’ area minima, purché si supponga che i diversi elementi 
ds variati da una medesima curva s della superficie primi- 
{*) Veggasi la già citata mia Memoria sulle variabili complesse tra «ita 
superficie qualunque , nel tomo 1° degli Annali di Matem., 2 a Serie. 
