Sulle proprietà generali ec. 
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Finalmente osserviamo che, quantunque le coordinate 
u, v da noi usate abbiano un carattere speciale (che verrà 
definito nel § seguente ), pure i teoremi del sig. Mathkt 
continuano a sussistere prendendo r e ^ eguale ad una fun¬ 
zione di u -4- iv, u , «r essendo parametri isometrici di due 
sistemi ortogonali isometrici: infatti vedremo fra breve che 
u - 4 - iv è sempre funzione di u -+- iv , cioè di w. 
§. 4. 
Procediamo a sviluppare in modo più concreto la solu¬ 
zione trovata nel § precedente. 
Poniamo 
/(«,) =P-iQ, 
dove P e Q sono due funzioni reali di u e e, soddisfacenti 
alle relazioni 
/oe\ i 
: dP J 
dQ 
dP _ 
1 du 
dv 9 
dv 
Avendosi 
àf^ 
dP 
d A 
d y _ cfp 
d w 
du + 1 
du\ 
dw* du 1 
dQ 
■ <?Q 
l d?’ 
(29) 
: sen u. cosh v -+- i cos u. senh • 
cos u. cosh v — i sen u. senh i 
dove cosh , senh rappresentano il coseno ed il seno iper¬ 
bolico, è facile ridurre i secondi membri delle equazioni 
(27) all* ordinaria forma a +- i6, ed è anche facile trasfor¬ 
mare le espressioni così trovate in modo che le parti reali 
contengano tutte la sola funzione Q , le parti imaginarie 
la sola funzione P, poiché fra le derivate parziali di que¬ 
ste due funzioni sussistono le relazioni (28) insieme con 
quelle che se ne deducono mediante ulteriori derivazioni. 
Così operando si perviene al seguente risultato : 
