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E. Beltrami 
Tutte le superficie reali d’ area minima sono contenute 
nelV una e nelt altra delle seguenti teme cF equazioni : 
I d*Q , d*Q 
" — JZ* setl u senh V ■+■ -r-£ cos u cosh v 
<PQ 
cos u senh v ~ sena cosh v , 
dv 
(30) ( y = —5 cos u senh v — ——— 
' du dudv 
dQ , dQ 
“+“ ~r sen u senh v 
sen u cosh v 
cos u cosh v > 
- Q - ** ; 
V du* ’ 
d*P 
~3 j **» u senh v — 
d'P 
TT. C0J u senh v — — 
^ sera u cosh v , 
) <T p d*P 
( 30 ), \ y i — dv* cosu senh v ■+• «» “ cosh V 
dP t 
M ® Wi« cwA V , 
P +. &\ 
du * ’ 
nelle quali le quantità P e Q sono le due funzioni di u e 
di v che si ottengono prendendo una qualunque funzione 
di u •+• io e sciogliendola nelle sue due parti reale ed ima- 
ginarta. Se poi si considerano simultaneamente questi due 
ZhT dl foTmo1e ' f ottengono sempre due superficie appli¬ 
cabili esattamente V una suW altra. FP 
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