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E. Beltrami 
U -+- F 
~ l/2 ’ 
dunque le linee assintotiche sono pur esse isometriche, 
inclinate di 45° sulle linee di curvatura e quindi perpen¬ 
dicolari fra loro : proprietà già notate da Dupin , da M. Ro- 
berts e da Bonnet. 
Poiché le linee di curvatura sono linee isometriche, si 
presenta da sé' stessa V idea di sostituire i loro parametri 
U, V al posto dei primitivi u, v. Ora dalla (41), ossia 
dalla 
i/p iq . ( du -+- idv ) = dU -+■ id F, 
si deduce immediatamente 
\/p* q* . ( du 2 -h do* ) = dU 2 -+- d F* ^ 
epperò 
du 2 -*-dv 2 dZ7 s -*-dF 2 
d<r 2 = 
ossia, per la (40), 
- <f* costì 1 < 
(42) da 2 = 
dU 2 -+- dV 2 
e conseguentemente 
(42)' d^sri? (df/’-t-dF 1 ). 
Ora la funzione / (w) essendo arbitraria, è tale evidente¬ 
mente anche la W, talché V e V possono riguardarsi come 
i parametri isometrici di uno qualunque dei sistemi orto- 
gonali isometrici che si possono tracciare sulla superfìcie 
sierica 2. In conseguenza si può dire che: ogni doppio 
sistema ortogonale ed isometrico di curve tracciate sulla 
superficie sferica 2 può riguardarsi come corrispondente al 
