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H. AMSTEIN 
fait l’angle 9 avec l’axe positif des x. Ainsi, au système de cir¬ 
conférences concentriques correspondent les courbes données 
par les équations (6), dans lesquelles on considère r comme un 
paramètre variable ; tandis qu’au faisceau de rayons répondent 
les courbes, représentées par les mêmes équations (6), mais 
dans lesquelles on considère 9 comme un paramètre variable. Il 
va de soi que ces dernières courbes sont les trajectoires ortho¬ 
gonales du système, caractérisé par r = const. 
En mettant les équations (6) sous la forme 
IX 
( 6 *) 
— = n cos 9 — r n ~ l cos w.9, 
= n sin ip — r n ~ l sin ny , 
on reconnaît immédiatement que pour r = const. et < 1 elles 
représentent des épicycloïdes allongées. Il s’ensuit qu’à un point 
de l’intérieur du cercle des unités correspond un point — et un 
seul — de l’intérieur de l’épicycloïde (l b ). 
Afin d’obtenir l’équation en coordonnées rectangulaires du 
système de trajectoires orthogonales de ces épicycloïdes, 011 
éliminera la variable r entre les équations 
( 6 ) 
^ \ = nr cos 9 — r n cos ^9, | sin ny | sin <p 
{ r, — nr sin 9 — r n sin wp , | —cos ny | —cos 9. 
On trouve d’abord 
puis 
H sin î?9 — y] cos ny 
wsin(w—1)9 ’ 
(£ sin ny — r, cos 239)^ 
n n sin n (n — 1) 9 
yîl - 
_ \ sin 9 — '/] cos 9 
sin {n — 1)9 ’ 
i sin 9 — yj cos 9 
sin [n -— 1)9 ’ 
ou bien 
( 7 ) (£sin n 9 — m cos ^9)^ = nn sin n ~^ [ (n — 1 )cp (H sin 9 — r, cos 9). 
Ces courbes sont par conséquent des paraboles de l’ordre n. 
Leur équation en coordonnées polaires p , ^ est la suivante : 
(?*) 
