NOTE SUR LES ÉPICYCLOÏDES ET LES HYPOCYCLOÏDES 11 
Afin de développer le produit contenu dans l’équation ( 13 ), on 
pourra écrire en remontant à l’équation (I) et en désignant par 
la quantité conjuguée de z : 
£ 4 -r<i = nz — z n , 
l — ni = nz A — z t n y 
d’où par multiplication 
-p ri 2 = c‘ = — nzzy (z n ~ l 4- ^ 1 w ~ 1 ) +^i n . 
Or, on a 
1 __ ^ n -i 4. i ( w — 1), x n ~~^y — (n—l) a x n ~ s y- —i [n—1) 3 */ 3 4- .. 
-1 = 1), (n — 1) 3 x n ~ s y* 4 - i {n—1) 3 x ,l ~ d if 4- .. 
on en tire, en additionnant ces deux égalités membre à membre 
et en prenant la moitié 
(z n ~ 1 4 - z t n ~ l ) == x n ~ l — (n — 1) 2 x n ~ 3 y 2 4- {n— 1) 4 ,r n - 5 — ... = 
= v (!_ ])\ n — 1 ) 2X xn-l-ktypk^ 
l=o 
où la lettre de sommation X parcourt les nombres entiers posi¬ 
tifs depuis 1 = 0 jusqu’au plus grand nombre entier contenu 
dans | (n — 1 ). 
Maintenant l’équation des isotimes devient 
-y 
[ )= «—! 
(x~-\-y 1 ) n ~ l -[-n l —2n 2 (— l)^(w — 1).^ x n ~ l —p-y^ 
\=o " -) 
Pour la transformer en coordonnées polaires 
x = p cos ^, y = p sin ^, 
011 remarquera que d’après le théorème de Moivre on a 
X = 1 
^(— 1)^ (n —1)4 cos n ~ l ~~' k ^ sin 2 ^ 1 ^ = cos (n — 1) ^, 
l=o 
de sorte que l’équation ( 13 a ) se transforme finalement en 
( 13 b ) p 2 [p-2(«—i) 4- n~ — 2 n p n ~ 1 cos [n — 1 ) = c 2 . 
Les isotimes sont, par conséquent, des courbes algébriques 
du degré 2 n. Il n’est pas difficile de se faire, au moins approxi- 
