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H. AMSTEIN 
Un procédé analogue à celui qui a été employé dans le cas 
des épicycloïdes, permet de mettre l’équation ( 15 ) sous la forme 
( 15 a ) 
> = W+l 
» s (3 , +ÿ*)"+ 1 — c i (x’ l + if) n -\- l + 2n 2 (— 1) X (« + 1 )îX* ,,+1 ~ sX 2 / sX = 
X=o 
Ainsi les isotimes sont des courbes algébriques de l’ordre 
( 2 w+2). Pour la transformation en coordonnées polaires, on 
remarquera que l’on a 
l = n +1 
3i=w+i 
(— 1) X (M+l)oX*” +1_SX ^ X ^ "’* +1 ^ ^ ' ' X ' 
(—l)\n+l) 3 xcos n+1 sX siu' X 
■1) + , 
X=o 
— cos (n - 
de sorte que ( 15 a ) devient 
( 15 b ) n 2 b — c‘ p 3n 4- 2 w p n + 1 cos (n + 1) ^ -f-1 = 0. 
Cette forme se prête bien à une discussion succincte des 
courbes en question. En effet, si dans cette équation on fait 
2/v+l 
• 7 T, elle devient 
n~ — 2 np n + l H-1 =. c 2 p' n 
ou 
— 1 = -+- Cp n 
et l’on reconnaît que pour c=0, l’isotime se réduit aux zéros 
de Ç. Pour c< (w + 1 ) elle entoure sous forme de (w + 1) pe¬ 
tits ovales les dits zéros. Lorsque c = (w+ 1 ), l’équation pré¬ 
cédente possède la racine double p = 1, l’isotime a un point 
double — et soit dit en passant — les deux tangentes en ce point 
2 À; 4-1 
-T’ 
font des angles de dz 45 ° avec l’axe de symétrie 4 = 
Enfin, si c > (w+l), l’isotime se compose de deux branches 
fermées, dont l’une entoure les zéros de Ç et l’autre l’origine. 
HYPOCYCLOIDES ALLONGEES 
Le fait que l’on a 
