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A.-A. ODIN 
infiniment petits d’un ordre aussi élevé que l’on veut, et, d’autre 
part, d’employer ces séries à l’étude d’une portion finie de sur¬ 
face. Qu’il nous soit permis de donner ici le résultat succinct de 
quelques recherches faites à ce sujet. 
Pour étudier la forme d’une surface aux environs immédiats 
d’un point donné, nous l’avons rapportée à un système O xyz 
de coordonnées cartésiennes rectangulaires, ayant ce point pour 
origine. Mais le choix d’un système de coordonnées ne suffit pas, 
car à la forme d’une surface sont intimément liées toutes les 
déformations que l’on peut faire subir à cette surface sans dé¬ 
chirure ni duplicature, et il nous a fallu introduire un élément 
de calcul qui soit inhérent à la surface considérée comme un 
tissu inextensible et incompressible. A cet effet, nous avons cru 
devoir choisir la longueur réduite d’un arc de géodésique préco¬ 
nisée par Christoffel dans sa Théorie der geodàtischen Dreiecke . 
Pour établir une liaison entre la longueur réduite d’un arc de 
géodésique et l’équation de la surface donnée, nous nous som¬ 
mes servi des coordonnées géodésiques polaires qui ont déjà été 
utilisées par plusieurs savants. 
Soit 
F O, y, z) — 0 
l’équation de la surface considérée ; comme celle-ci passe par 
l’origine, on pourra toujours, pour des valeurs suffisamment 
petites de x, y, z, développer F (x, y, z) en série, et la surface 
sera représentée par une équation de la forme : 
(1) 0—2 ai, (l , v » l 2/'*0» 
A-!- rr^'l 
Considérons une ligne géodésique G partant de l’origine ; si 
s désigne sa longueur à partir de l’origine, cette longueur étant 
toujours regardée comme positive, la géodésique sera repré¬ 
sentée par trois équations de la forme : 
m=oo m = oo m==oo 
x— 2 oc m s m ; y— 2 j3 m s m ; z=2 y m s m 
m = l" m = 1 m = 1 
Les coefficients a, j3, y ne sont pas indépendants les uns des 
autres, d’abord parce que G est situé sur la surface donnée et 
que, par conséquent, les valeurs de x, y, z doivent satisfaire 
