SUR LA FORME ü’UNE SURFACE EN UN POINT DONNÉ, 61 
l'équation (1); ensuite parce que G étant une géodésique, sa 
normale principale doit être constamment normale à la surface, 
et enfin parce que s n’étant pas une variable quelconque, mais 
représentant la longueur de l’arc de G, on doit avoir identi¬ 
quement 
Ces trois conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients 
%, (3 m , /m nous ont permis d’établir des expressions symboli¬ 
ques des valeurs de ces coefficients et d’établir la nature de ces 
valeurs. Le cadre de ce mémoire ne nous permet pas de donner 
les calculs relatifs à cette étude; nous nous bornerons à en in¬ 
diquer les principaux résultats. 
Si l’on donne la tangente de G à l’origine des coordonnées, la 
géodésique G sera déterminée et les coefficients a, (3, y seront 
aussi parfaitement déterminés. Ils dépendent donc essentielle¬ 
ment de la direction de cette tangente ; celle-ci pourra être fixée 
par l’angle cp qu’elle forme avec une direction choisie dans le plan 
tangent à la surface ; nous voyons donc que les a, jS, y doivent 
être des fonctions bien déterminées de cp ; nous préciserons en 
indiquant le résultat auquel nous ont conduit nos calculs, lequel 
résultat peut être exprimé comme suit : 
Les coefficients a m , jS m , /m sont des fonctions entières et homo¬ 
gènes du m ième degré en cos cp et sin cp ; les coefficients de ces 
fonctions sont à leur tour des fonctions rationnelles des a dont 
la somme des indices ne surpasse pas m, fonctions gui sont en¬ 
tières par rapport aux a dont la somme des indices surpasse 1, 
et même linéaires par rapport aux a dont la somme des indices 
m—f-1 
surpasse —-—. 
Nous nous sommes ensuite proposé de développer en série la 
longueur réduite d’un arc de la géodésique G, et cela de la ma¬ 
nière la plus simple, c’est-à-dire en nous servant de la définition 
même telle qu’elle a été donnée par Christoffel. Soit M un point 
sur G tel que : 
OM = s 
Construisons sur notre surface une nouvelle géodésique G' qui 
soit infiniment rapprochée de G, et choisissons sur elle un point 
