A.-A. ODIN 
M' dont la distance à O soit aussi 5 . Si nous appelons la dis¬ 
tance MM' et §9 l’angle formé par G et G' au point où ces lignes 
se coupent, nous savons que la longueur réduite S de l’arc OM 
est définie par la formule : 
que, d’un autre côté, les différentiations exprimées par le signe § 
se rapportent exclusivement à la variable 9 et que nous con¬ 
naissons un moyen d’exprimer les divers coefficients du déve¬ 
loppement de x, y, z en fonction de cp, on conçoit immédiatement 
la possibilité de former le développement de S en série crois¬ 
sante de s, les coefficients de cette série étant des fonctions de cp. 
Ces coefficients sont assez laborieux à calculer et se présentent 
sous une forme très compliquée. On arrive cependant assez fa¬ 
cilement à leur reconnaître les propriétés générales exprimées 
dans le théorème suivant : 
Une surface étant représentée par Véquation : 
\ — .00 , (A = 00 , V = CO 
0 = 2 «4,v x 1 y* & 
A + (A + v = 1 
passe par Vorigine des coordonnées ; la longueur réduite S d’un 
arc de géodésique s partant de V origine — où il fait un angle cp 
avec une direction fixe prise dans le plan tangent à la surface 
— est développable suivant les puissances croissantes de s ; le 
premier terme de ce développement est s et le terme en s 2 est 
nul ; à partir de m = 0 , le coefficient de s m + 3 est une fonction 
entière et homogène du m ième degré en cos 9 et sin 9 ; les coeffi¬ 
cients de cette fonction sont formés des a dont la somme des in¬ 
dices ne dépasse pas m + 2 et de telle façon que les a dont la 
somme des indices est plus grande que™ -f- 2 ne s’y rencon¬ 
trent qu’au premier degré. 
