SUR LA FORME D’UNE SURFACE EN UN POINT DONNÉ 63 
Les développements en série dont nous venons de résumer 
les principales propriétés donnent un moyen élémentaire très 
simple pour étudier la forme d’une surface en un point donné, 
surtout lorsqu’il s’agit des changements qu’éprouvent les para- 
boloïdes oscillateurs quand on déforme la surface sans déchi¬ 
rure ni duplicature. Les deux théorèmes que nous avons énoncés 
peuvent aussi servir à démontrer nombre d’autres théorèmes et 
à résoudre quantité de questions; nous n’indiquerons que la 
suivante, que nous croyons n’avoir pas encore été traitée. 
Soient deux courbes C, C 2 se coupant en un point O et une 
surface S passant par ce point. On peut se proposer de déve¬ 
lopper la surface S sur les courbes C I et C 2 , c’est-à-dire de la 
déformer sans déchirure ni duplicature , de telle façon qu’elle 
arrive à contenir, au moins sur une certaine étendue, les courbes 
C 1 et C 2 , le point O restant en place. Pour plus de simplicité, 
supposons que la normale commune à C, et C 2 en O coïncide 
avec la normale ON de la surface S. Soit OT une tangente quel¬ 
conque de la surface en O, tangente dont le premier élément 
est regardé comme faisant partie de la surface. Le point O et la 
normale ON de la surface étant fixes, on peut encore donner à 
cette surface une infinité de positions en la faisant tourner au¬ 
tour de ON ; elle sera fixée par la tangente OT. 
Ceci étant posé, on démontre d’abord que la 'possibilité ou 
Vimpossibilité de développer S sur les courbes C, et C 2 ne dépend 
absolument pas de la position de OT par rapport à C t et C 2 , en 
d’autres termes, que si le problème est possible pour une posi¬ 
tion de OT, il est possible pour toutes les autres positions. On 
prouve ensuite aisément que le problème a en général deux so¬ 
lutions caractérisées par deux systèmes de sections normales 
principales (un pour chaque solution), qui sont les mêmes pour 
toutes les directions de OT ; ces systèmes peuvent être soit réels 
et distincts, soit réunis en un seul, soit imaginaires; dans ce 
dernier cas, le problème est, à proprement parler, impossible. 
Pour distinguer les trois cas que nous venons de mentionner, 
appelons p { le rayon de courbure en O de la projection de C t 
sur son plan tangent passant par ON, et p/ le rayon de cour¬ 
bure de la projection de cette même courbe sur le plan normal 
de C 2 passant par O. Nous définirions de même des rayons de 
courbure p. 2 et p 2 . On vérifie aisément que : 
