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DES MAXIMA ET MINIMA, ETC. 
lorsqu’il n’y a plus en présence deux courbes, mais une courbe 
et une surface. 
Soient une courbe C 4 et une surface S 2 ; soient A, un point 
régulier de C 4 et À 2 un point régulier de S 2 . Nous allons recher¬ 
cher dans quels cas la longueur 
A, A 2 = D 
est un J | de distance de C, à S 2 . Pour que cela ait 
lieu, il faut et il suffit que D soit la distance j J f ^ e 
à toutes les sections normales de S 2 passant par A a . Nous som¬ 
mes donc ramenés au premier cas et nous voyons que la pre¬ 
mière condition qui doit être remplie est que A, A 2 coupe nor¬ 
malement 0 1 et S s . 
Soient R, le rayon de courbure de la projection de C 4 sur le 
plan passant par A 2 A t et la tangente en A, à C 4 , R 2 ' R/ les 
rayons de courbure principaux de S 2 en A a , A l’un des angles de 
la section principale C 2 ' (correspondante à R a ') avec la tangente 
de C t en A,, C 2 une section normale quelconque de S 2 formant 
avec C 2 ' un angle cp, et enfin R 2 le rayon de courbure correspon¬ 
dant à cette section. Pour que D soit un maximum ou minimum 
de la distance de C t à C a , il faut, d’après l’équation (5), que : 
— cos" (A H- qp) ^ 0 
Cette condition est suffisante tant qu’elle est exprimée par le 
signe >. Pour qu’il y ait maximum ou minimum de la distance 
de C, à la surface entière S 2 , il faut que cette inégalité soit sa¬ 
tisfaite pour toutes les valeurs de cp. Nous devons donc chercher 
à la remplacer par une autre inégalité qui lui soit équivalente, 
mais qui ne contienne plus que des quantités déterminées. Pour 
y arriver, remarquons d’abord que, d’après le théorème d’Euler, 
exprimé par la formule : 
R 2 R 2 ' R 2 " 
notre inégalité devient : 
D CQS 9 ? 
ü 
D sin 2 <P ~| 
R 2 " J 
cos 2 (A -H cp) ^ 0 
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