Bulletin de la Société Vaudoise des Sciences Naturelles. 
Vol. XXIV. N» 99. 1888. 
FONCTIONS ABÉLIENNES DU GENRE 3 
UN CAS PARTICULIER 
PAR 
H. AMSTEIN 
PL VI à X. 
Avec quelques-uns de mes camarades d’études, j’ai eu la bonne 
fortune de suivre un cours général sur la théorie des fonctions 
abéliennes que mon vénéré maître, M. H. Weber, a fait une seule 
fois, en 1875, à l’Ecole polytechnique fédérale à Zurich. Ce n’est 
que plusieurs années après que j’ai eu connaissance de son re¬ 
marquable ouvrage intitulé : Théorie der Abelschen Funçtionen 
vom Geschlecht 3. (Berlin, 1876, chez Georg Keimer.) A la 
page 4 de l’introduction, l’auteur s’exprime comme suit : « Es ist 
damit nicht ausgeschlossen, dass es ausser den hyperelliptischen 
Funçtionen noch andere besondere Fàlle gibt, in denen die 
Verzweigungspunkte eine wichtige Rolle spielen. Es würde dies 
z. B. eintreten bei den Funçtionen, welche von der Gleichung 
x x + y x + = 0 abhangen, welche überhaupt, obwohl (oder 
vielleicht gerade weil) sie durch elliptische Funçtionen voll- 
standig dargestellt werden konnen, ein intéressantes Beispiel 
fiir unsere Théorie liefern würden. » 
« Cela n'exclut pas V existence, en dehors des fonctions hyper- 
elliptiques, d'autres cas particuliers, dans lesquels les points de 
ramification jouent un rôle important. Ce serait, par exemple, le 
cas des fonctions dépendant de V équation x 4 + y 4 -f- z 4 = 0, qui 
fourniraient un exemple intéressant à l'appui de notre théorie, 
lors même que (ou peut-être justement parce que) elles peuvent 
être représentées complètement par des fonctions elliptiques. » 
Après avoir lu et relu cet ouvrage avec le plus vif intérêt, je 
me suis décidé à traiter l’exemple proposé. Chemin faisant, j’ai 
rencontré certaines difficultés, auxquelles il fallait d’ailleurs 
s’attendre, de sorte qu’il m’a paru que ce travail, entrepris dans 
l’unique but de me familiariser autant que possible avec une 
théorie plus ou moins ardue, pourrait rendre quelque service à 
