FONCTIONS ABÉLIENNES DU GENRE 3 . 
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Si, en premier lieu, on attribue à s et z des valeurs réelles et 
que l’on rapporte ces variables à un système de coordonnées 
rectangulaires, en choisissant, par exemple, z comme abscisse 
et s comme ordonnée d’un point, l’équation (1) représente une 
courbe du 4 me degré, dépourvue de points doubles et qui, de ce 
fait, appartient au genre 3 (fîg. 1, pi. VI). Cette courbe, évi¬ 
demment symétrique par rapport aux deux axes, possède aux 
points # = 0, ,9= + !; z = -+- 1, 5 = 0 des tangentes qui for¬ 
ment avec elle un contact de l’ordre 3. Ces droites ont quatre 
points infiniment voisins communs avec la courbe, et peuvent, 
par conséquent, être considérées comme des tangentes doubles 
dont les deux points de contact coïncident. Cette particularité, 
la seule qui mérite d’être signalée ici, se reconnaît aisément, si 
l’on développe s en série, ordonnée suivant les puissances crois¬ 
santes de z, par exemple dans le voisinage du point z— 0, 5—1, 
ce qui donne 
Mais si, d’une manière plus générale, on admet que z et s 
puissent prendre des valeurs aussi bien imaginaires que réelles, 
il faudra assigner aux points représentatifs de ces variables 
deux plans que l’on désignera par (z) et ( 5 ). Lorsque z parcourt 
une courbe quelconque dans son plan, le point représentatif 
de 5 , à son tour, parcourra une courbe dans le plan ( 5 ). D’après 
Gauss, on appelle volontiers cette dernière courbe 1 '‘image dont 
la première serait Voriginal. Le plan (z) se compose de quatre 
feuilles ou nappes superposées. Le plan ( 5 ), on l’a déjà reconnu, 
se trouve exactement dans les mêmes conditions. Pour établir 
les rapports qui existent entre les plans (z) et ( 5 ), il est utile 
d’étudier brièvement la représentation du plan (z) sur le plan ( 5 ) 
par l’intermédiaire de la fonction 5 . A cet effet, il suffit de con¬ 
sidérer les courbes dans le plan ( 5 ) qui correspondent à un sys¬ 
tème de circonférences concentriques dans le plan (z) avec O 
comme centre commun. 
Soit 
( z x -f yi m réf, 
( s — £ -j- = çe^. 
A l’aide de ces formules, l’équation (î a ) peut s’écrire 
