FONCTIONS ABÉLIENNES DU GENRE 3 . 
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Chacun cl’eux compte pour trois points de ramification sim¬ 
ples , vu qu’en ces points, non-seulement deux, mais les quatre 
valeurs correspondantes de s coïncident. Ainsi, la fonction 5 
possède douze points de ramification simples. 
Pour transformer le plan ( 2 ) en une surface de Riemann, on 
peut appliquer les lignes de passage de différentes manières. 
Guidé par la représentation susmentionnée, on les conduira 
dans les quatre nappes, le long des axes coordonnés, de l’ori¬ 
gine O jusqu’aux points 2 —dz 1, 2 — en reliant les quatre 
feuilles de la manière indiquée dans les lig. 4, 5 et 6, pl. VI. Les 
fîg. 4 et 5 représentent des coupes à travers les quatre nappes, la 
première perpendiculaire à la ligne de passage O +1, la dernière 
perpendiculaire à la ligne de passage O + i. L’œil de l’observa¬ 
teur se trouve au-dessus de la première feuille. Il va sans dire 
qu’on aurait pu ajouter encore deux figures analogues relatives 
aux lignes de passage O — 1 et O — i. Pour bien comprendre la 
fig. 6, on remarquera que les quatre circonférences devraient 
être superposées et se trouver chacune dans la nappe que lui 
assigne le chiffre inscrit dans la figure. Afin d’augmenter encore 
la clarté, on a mis en regard, le long des lignes de passage, dans 
les fig. 2 et 3, pl. VII, les chiffres qui indiquent le passage d’une 
feuille à l’autre. Ainsi, par exemple, le long de la ligne 0+1, le 
point 2 peut passer du bord positif de la première nappe au bord 
négatif de la quatrième, du bord positif de la deuxième nappe au 
bord négatif de la première, etc. Obéissant aux exigences de la 
représentation, la disposition des chiffres dans le plan ( 5 ) diffère 
de celle adoptée pour le plan ( 2 ). 
Ceci posé, s pourra être considéré comme une fonction uni¬ 
forme de 2 . On s’en convainc aisément à l’aide des fig. 2 et 3. 
En effet, si 2 . parcourt le 1 er quadrant d’une circonférence de 
rayon < 1, par exemple dans la l re feuille, en partant du bord 
négatif de l’axe O + 1, le point s décrit un ovale complet. 
Lorsque 2 , après avoir franchi la ligne de passage O + i, décrit 
ensuite le second quadrant dans la quatrième nappe, le point s 
parcourra une seconde fois le même ovale. A la circonférence 
entière correspond donc quatre fois le même ovale. Dans le cas 
où 2 serait parti de la seconde nappe, le point s aurait décrit un 
autre ovale identique au premier, mais tourné contre celui-ci 
d’un angle de + 90°. Et ainsi de suite. 
Si le point 2 , tout en restant dans la première nappe, suit le 
bord positif de l’axe des X de 0 à + 1, le point s longe le bord 
