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H. AMSTEIN 
J x 
f{x)dx reste finie pour toutes 
Xo 
leurs finies de x, on sait que | f{x)dx conserve 
ty Xo 
les va- 
aussi une va¬ 
leur finie, si la fonction f(x) pour x= ^ tend vers zéro d’un 
ordre supérieur au premier. Or, dans l’intégrale 
la fonction s = \/1 — z r ' devient infinie du 1 er ordre et, partant, 
s 3 du 3 e ordre pour z—^°. Il s’ensuit que la variable s (et pour 
des raisons analogues aussi la variable z) entre dans la fonc¬ 
tion cp tout au plus au 1 er degré. Les points de ramification 
£ = zhl, z = dii ne produisent pas de discontinuité. On peut 
donc poser 
(p = A fi- Bz + Cs. 
En disposant des constantes A, B, C de sorte que cp s’annule 
en deux points arbitraires, on peut obtenir trois fonctions cp dif¬ 
férentes entre lesquelles il n’existe pas d’équation linéaire et 
homogène. Par contre, il est aisé de démontrer qu’entre quatre 
de ces fonctions, il existe nécessairement une équation linéaire 
et homogène, à coefficients constants *. 
Soient maintenant cp t , cp 3 , cp 3 les trois fonctions en question, 
satisfaisant à la condition de s’annuler 
cp, pour 
cp 2 pour 
cp 3 pour 
s= oc, z — 0 
5 = 0 , £ = ’ 
5 = 0, z = 0 
5 = 1 , Z — 0 ’ 
5 = 0, z = 0 
5 = 0, z= L 
d’où B = C = 0 et cp, = A, 
d’où A = C = 0 et cp 2 = Bz, 
d’où A = B = 0 et (p z = Cs. 
* La géométrie analytique offre l’analogie suivante : Si #, = 0, g 2 = 0, 
g z =0, g i = 0 sont les [équations de quatre droites dans un plan, il est 
toujours possible d’établir l’identité + Tc 2 g i + Jc 3 g 3 + Jc t gi = 0, à moins 
que trois des droites données ne fassent partie d’un faisceau. 
