FONCTIONS ABÉLIENNES DU GENRE 3. 
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L’élimination de t entre ces deux équations conduit ensuite à 
l’équation en coordonnées tangentielles de la courbe (1), soit 
'f +. 1 = 0 
qui, rendue rationnelle, prend la forme 
(n 4 +v 4 — l) 8 + 27ttVzzO. 
Or, les coordonnées u, v d’une tangente double satisfont simul¬ 
tanément aux trois équations 
f= (w 4 + v k — l) 3 + 27t*V = 0, 
= X^u" + v h — X )V + 4.27 mV= 0, 
= 12 (w* + t/ 1 — l)‘ 2 v 5 + 4.27«tV = 0 
ou en supprimant dans les deux dernières équations les facteurs 
12 w 3 , 12v 3 
a) (w 4 + — î) 3 + 27« = 0, 
/?) (i* 4 + v 4 — l) 2 + 9u 4 =0, 
y) (u 4 +v 4 - 1)*+ 9 iAo. 
Les facteurs supprimés correspondent aux huit couples de 
racines 
u — 0, v — yj i — 1, — 1, i , — i, 
v — 0, u—\f 1 = 1, — 1, f, — L 
Par la comparaison des équations j3) et y) on trouve la rela¬ 
tion v* — u 4 qui, introduite dans a) et jS), donne 
(2« 4 —1) 3 =— 27w 8 , 
(2w 4 —1) 2 = — 9|| 
d’où par division 
2w 4 —1 = 3i/ 4 
ou encore 
u* = —l. 
Ainsi u peut aussi prendre les valeurs 
i . i • i ■ i . 
4 ut 4 ,1t ® 4** — 4 11 * 
u — e , w = 6 , w = — e , w =— e 
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