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FONCTIONS ABÉLIENNES DU GENRE 3. 
les caractéristiques des 21 autres tangentes doubles sont don¬ 
nées par la théorie générale. Voici de quelle manière on peut 
arriver à la solution désirée. (Comp. Riemann, p. 460 et suiv.) 
D’après Riemann et Weber (p. 82), il est possible de mettre 
l’équation de la courbe du 4 e degré sous la forme 
f* — i æ 2 £ 2 = 0, 
f— 0 désignant l’équation d'une conique, et = 0 , ^ 1 = 0 y 
= 0 , £ 2 = 0 , exprimées en fonction des coordonnées z et s r 
celles de quatre tangentes doubles à la courbe proposée, telles 
que leurs points de contact se trouvent sur la conique/—O. Or, 
.s— 1=0, 5 + 1=0, 2 — 1 = 0, 2 + 1=0 
représentent évidemment quatre tangentes doubles dont les 
points de contact sont situés sur la circonférence 
5 2 + 2 2 — 1 = 0. 
Par conséquent, l’équation s i + z* — 1 = 0 peut prendre la 
forme 
(s* + 2 2 — l) 2 —2 (5 2 — 1 ) (2 2 — 1) = 0. 
Il existe six couples de tangentes doubles pour lesquels la 
somme des caractéristiques est la même et qui, de ce fait, cons¬ 
tituent un groupe. Si l’on considère, par exemple, 
5—1 = 0, 5+1=0; 2 — 1=0, 2+1=0 
comme deux couples d’un groupe, il est intéressant de chercher 
les quatre autres couples du même groupe. A cet effet, il est aisé 
de voir que l’équation 
(s+l) + « (f + 2 2 — l)+j§(**-fl) = 0, 
où a signifie un paramètre variable, représente une conique qui 
touche la courbe du 4 e degré en quatre points. Toutes les fois 
que cette conique dégénère en deux droites, on obtient un couple 
de tangentes doubles appartenant au même groupe, vu que leurs 
points de contact, de même que ceux du couple 5 + 1 = 0 , 
5 — 1 = 0 satisfont à l’équation 
2a (5 2 — 1 ) + (5 2 + 2 2 — 1 ) = 0. 
