FONCTIONS ABÉLIENNES DU GENRE 3. 
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— 1» ÎB — z + t. 
Les constantes A, B, C doivent être déterminées de telle sorte 
que l’équation 
V x i£l + + / &3?3 =0, 
exprimée en fonction de 5 et de z et rendue rationnelle, produise, 
à un facteur constant près, l’équation donnée s i +£ 4 —1=0. 
On trouve sans difficulté 
A = l, B = |, C = -A. 
On posera donc provisoirement 
! 1 1 
x i — s 11 + x * = — 2 ^ — *)> 
?l = ‘S+lj - 1> ?3 = : î + î- 
Or, Riemann (1. c. p. 464) et Weber (p. 91) démontrent qu’entre 
les six fonctions , x 3 , , £ 2 , £ 3 il existe quatre équations 
linéaires et homogènes de la forme 
(1) ax { + + y x 3 + a 'Ç\ + y'£ 3 — o, 
pourvu que les constantes a, (S, y, a', |3', y f satisfassent aux con¬ 
ditions 
aa — (3(3' — yy'. 
Une de ces équations est alors nécessairement une consé¬ 
quence des trois autres. Les quatre expressions Y'otx i -{-fix i -\-yx 3 
sont les fonctions abéliennes désirées, c’est-à-dire celles qui, 
jointes à Ÿ x \, /# 2 , Ÿx 3 répondent à un système complet de 
caractéristiques impaires. 
Pour les déterminer, on partira des trois équations faciles à 
vérifier 
+ 2 (\—ï)x 2 + 2 (1 — ï)x z —Si = 0, 
°2ix 2 — 2 (1 — ï) x 5 — £ 2 =z 0 , 
2(1 -j- i ) x 2 -f- 2ix% — m 0. 
