FONCTIONS ABÉLIENNES DU GENRE 8. 
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Détermination des caractéristiques. 
Il s’agit seulement des sept caractéristiques (]/#,), (]/"æ 2 ), (]/æ 3 ), 
(}V), (]/#), (/#'), (Yg") qui forment un système complet. M. 
Weber, à la p. 79 de son ouvrage dit : « Lorsqu’une fonction abé- 
lienne Yx s’annule dans les mêmes points que ^ J dunj, on 
appellera («) la caractéristique de cette fonction abélienne et 
on la désignera par (]/#). » A ce propos, une observation im¬ 
portante se présente tout naturellement. De même que l’égalité 
de deux quotients n’entraîne pas nécessairement l’égalité des 
dividendes d’une part et des diviseurs d’autre part, de même 
l’équation 
ne permet pas de conclure que la fonction Yx i affecte exacte¬ 
ment le système de facteurs indiqué par la caractéristique 
(]/^i). En effet, lorsque la variable ’Ç, soit le point (#, s) franchit 
les six coupures, les deux membres de cette équation prennent 
bien le même système de facteurs, mais il se peut que, dans le 
quotient, un certain nombre de facteurs (— 1) se soient détruits. 
Ainsi donc, si l’on veut déterminer, par exemple, la caractéris¬ 
tique (j/^), en observant combien de fois la fonction ]Ar, —1 
change de signe, lorsque Ç traverse les coupures, la combinai¬ 
son de nombres, ainsi obtenue, ne donne pas directement (]f #,), 
mais (Yx l )-+-(#), où (q) signifie une caractéristique encore in¬ 
connue, qui d’ailleurs conserve toujours la même valeur. 
Il est à peine besoin de rappeler ici qu’une racine carrée change 
de signe toutes les fois que la variable, en parcourant une courbe 
fermée quelconque, contourne un des points pour lesquels la 
quantité sous le radical s’annule, pourvu que le zéro soit du 
1 er ordre ou d’une manière plus générale, d’un ordre impair. 
Or, franchir la coupure a v revient à décrire la coupure com¬ 
plète b v ; l’effet produit est évidemment le même. 
