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146 BULL. DÉCOMPOSITION d’üNE FONCTION RATIONNELLE SEP. 2 
sives les constantes M et N des fractions réelles de la 
forme 
Mx + N _ 
( ax 2 -f- %bx + c) m 
Dans beaucoup de cas, cette méthode conduit rapidement à 
la décomposition cherchée. 
La présente note a pour but d’appeler l’attention du 
lecteur sur une méthode de décomposition qui, dans quel¬ 
ques cas de racines imaginaires multiples, est peut-être plus 
expéditive que les méthodes recommandées dans les livres 
destinés à l’enseignement. 
a) Soit à décomposer la fonction rationnelle 
/» 
(x 2 -f a 2 ) m 
On sait que l’on peut en général écrire 
(U 
m 
M 0 æ + N 0 _ M { x -f~ N 4 
• /_ ç 2 I _ c 2 \ m _J I 
(; x 2 + ce 2 ) m ( X' 2 + cr) m ( X 2 + a 2 ) 
Mm — \ % “1“ Nflj — i 
...+ 
(x 2 + Ci 2 ) 
+ E (æ) < 
où M 0 , N 0 ; M 4 , N 1 ;.M m _i , N w _i signifient des nombres 
réels, et où E(æ) désigne une fonction entière qui peut de¬ 
venir une constante, ou zéro. En multipliant les deux mem¬ 
bres de cette égalité par (x 2 + a 2 ) m , il vient 
(2) f(x) = (M 0 x + N 0 ) + (M 4 ® + N,) ( x 2 + « 2 ) + ... 
... -h (M m _i X + N w _i) (tXi 2 + a 2 ) m ~ 1 + E (x) (x 2 + a 2 ) m . 
Cette égalité prouve qu’il doit être possible de développer 
f(x ) suivant les puissances entières et ascendantes de 
(# 2 +« 2 ), sans qu’il soit nécessaire d’avoir recours aux 
