3 SEP. 
EN FRACTIONS SIMPLES 
BULL. 147 
quantités imaginaires. En effet, la fonction entière f(x) peut 
se mettre sous la forme 
f(x) — (a 0 + a^+ anx "+...) + «(«! + a z x*+ a^x" + ...), 
où a 0 , a x ... sont des constantes réelles données. 
Si l'on pose 
X* + a 2 — U, 
d’où x* — u — a 2 
et que l’on conserve la puissance première de x qui multiplie 
le polynôme (oq + æ 3 & 2 + a^x k + ...), il vient 
f{x) — [a 0 + a 2 (u — « 2 ) + a k (u — ay + ...] + 
J rx[a i -\- a z (u — a 2 ) -|- a s (u — a 2 ) 2 + ...], 
et en ordonnant suivant les puissances ascendantes de u 
(3 )f(x)—[(a 0 — a^a 2 +a 4 a 4 —...)+(«!— ciy +a^—...)x]+ 
+ [(^ 2 —2« 4 « 2 + ...) +{a— 2« 5 « 2 + ... )ff]w + 
+ [K—.) + fe—.+- 
La comparaison du second membre de cette égalité avec le 
second membre de l’égalité (2) permet de déterminer les 
constantes M 0 , N 0 ; M 1? N 4 , etc. On trouve 
N 0 ~a 0 — 2 « 2 + a 4 a 4 —... ; M 0 = oq — a z a 2 + u 5 a 4 —... 
N, = a 2 — 2a 4 a 2 + ... ; M 4 = a 5 — 2« 5 a 2 + ... 
N 2 — ciii ... 5 M 2 — ct$ ... 
On remarque en même temps : 1° qu’il est inutile de 
pousser le développement de f(x) suivant les puissances de 
u au-delà du terme en et 2° que l’on peut détacher 
la fonction entière E(æ) de la fonction rationnelle proposée 
avant ou après la décomposition de cette dernière. 
