150 BULL. DÉCOMPOSITION d’üNE FONCTION RATIONNELLE SEP. 6 
suivant les puissances de u. On obtient successivement : 
( 3 ) 
x* x 1 _ u — 4 + æ -j- 1 _ x — 3 + u 
x 
,4 - 
x — 3 + u 
T. - 3 
x — 3 
2 
— u + 
16 
x — 
1 
_ fi / 
x — 3 
2 
II 
“16“ 
x — 
1 
—u — 
æ— 1 
(u — 4) 2 16 — 8 u-\-u 
: _ 16 —- 8 u 4- v ? 
2 x — 3 x — 1 1 
16 
32 “ + 256 w5+ "' 
w 
4 
w 2 +... 
Sx —1 
“16“ 
On a donc trouvé 
M 0 x + N 0 =—f, M^ + N,-^, M,®.+ N 1 =-2|g r ‘ 
et la décomposition cherchée est la suivante : 
x* + x + 1 __ J_ _1_ _1_ J_ 1 1 _L 1 4 - 
x k (x 2 -j- 4) 3 “ 64 x 4 + 64 ^ + 256 £ 2 256 x + 
1 x — S 1 x — î 1 Sx —1 
+ HT (x 2 + 4 )â + 32 (x 2 + 4) 2 + 256 ^~+4 ‘ 
cj Tous les autres cas possibles peuvent facilement être 
ramenés aux deux précédents. Supposons, par exemple, que 
l’on ait à décomposer la fonction 
M -_ IM _ 
F (x) ( x 2 + 2 ax + b) m ( x 2 + 2a 4 Æ + b^ n (x — c)p ’ 
où 6 — a 2 >* 0 et & 4 — aY^>0 
et qu’il s’agisse de déterminer les numérateurs des fractions 
dont les dénominateurs sont des puissances de (æ 2 +2 ax+b). 
En posant 
x+ a —y, 
b — a 2 zz a 2 , 
