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Or si Fon fait la somme des carrés de deux nombres 
pairs, on la trouvera de la forme 4e; c’est un nombre 
quadruple. 
Si Fon fait la somme des carrés de deux nombres im¬ 
pairs, on la trouvera de la forme 4e +2, soit 2 (2e+ 1), 
c’est-à-dire un nombre pair double d’un nombre impair. 
Si Fon fait la somme du carré d’un nombre pair et du 
carré d’un nombre impair, on la trouvera de la forme 
4e + 1. 
Il n’existe donc aucune combinaison qui puisse fournir 
une somme de deux carrés de la forme 4e — 1. 
Il s’ensuit que si en divisant N par 4, on trouve le reste 
3 , ou, ce qui revient au meme, le reste — i, on est as¬ 
suré qu'il n'y a aucune solution possible de l'équation 
proposée , du moins dans les conditions que nous avons 
établies. 
II. Abordons maintenant la résolution proprement dite 
de l’équation 
x* + y 2 — N. (1) 
Gomme on peut toujours décomposer N en facteurs, 
voyons, si par quelque artifice, nous ne parviendrons pas 
à en faire autant du premier membre & 2 + 1 / 2 ? 
Posons 
x — r + s, y = t + u; 
il vient ainsi : 
æ 2 + y* = r 2 + 2 rs + s 2 + £ 2 + 2 tu + w 2 ; (2) 
supposons que rs = tu , en donnant à 2 rs et à 2 tu des 
signes contraires, ce qui revient à faire 
x = r dz s, y =zt^hu 9 (S) 
notre somme de deux carrés deviendra égale à celle des 
quatre carrés r 2 + $ 2 fl -f w 2 » 
