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à N, et le facteur F' serait égal à 1. Nos équations (6) de¬ 
viendraient ainsi : 
a* + j9»= N, f + ^ = 1. 
L’une équivaut à la proposée, la seconde donne y = 1 
o = 0; ou r = 0, o —1. Dans ces deux cas la multi¬ 
plication membre à membre de ces dernières égalités 
donne toujours « 2 + 0 2 == N. Ainsi lorsque N est un nom¬ 
bre premier, la proposée ne peut se ramener à la réso¬ 
lution d’équations plus simples. 
Relativement aux équations (6), on leur appliquera la 
même analyse dont nous avons fait usage pour la propo¬ 
sée, et l’on poursuivra de même jusqu’à ce que l’on soit 
arrivé à tous les facteurs premiers de N. Si l’on désigne 
ces facteurs par p, p‘, p“ , etc., l’on aura ainsi une suite 
d’équations : 
*2 + *2 — p'* + £ 2 __ e t Cj (7) 
au-delà desquelles on ne pourra pas remonter. 
En multipliant toutes ces équations membre à membre, 
nous obtiendrons cette nouvelle forme pour la proposée (1) : 
æ 2 + = (* 2 + * 2 ) (^ 2 + p ?) (v 2 + f 2 ) etc. 
= SPV.... = N. (8) 
III. Avant d’aller plus loin, nous avons plusieurs re¬ 
marques à faire qui sont indispensables pour la suite de 
notre calcul. 
Posons pour simplifier «r + —a et fty—ad = b, cette 
notation nous donnera d’après (5) x = a et y = b, et par 
conséquent N — a 2 + 6 2 . 
Si nous faisons ay — (33= c et0r + «d— d, nous au¬ 
rons encore d’après (5): c, y = d } et en conséquence 
N = c 2 + d\ 
