5 SÉP. ÉQUAT. INDÉT. DU 2 d DEGRÉ. BULL. 481 
Or nous savons d’après (4) que N = (a 2 + /3 2 ) (r 2 + d 2 ). 
Il s’ensuite que lorsqu'un nombre donné est le produit de 
deux facteurs dont chacun est la somme de deux carrés, 
ce nombre donné peut être décomposé de deux manières 
différentes en la somme de deux carrés . 
Ainsi 65 est égal à 5.18 —(2 2 + l 2 ) (3 2 + 2 2 ), et l’on 
trouve 65 — 64 + 1 — 8 2 +1 2 , pour une manière, et 
65 —16 + 49 — 4 2 + 7 2 pour la seconde manière. 11 suffit 
pour cela de faire « = 2, 1, y = 3, d — 2, dans les 
valeurs qui donnent a, b , c, d. 
Réciproquement: Si un nombre est décomposable de 
deux manières en la somme de deux carrés, il est le pro¬ 
duit de deux facteurs dont chacun est la somme de deux 
carrés. 
Ainsi soit N = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 . 
Nous tirons de là 
a 2 — c 2 = d* — b 2 , 
et par conséquent 
(a — c) (a -f c) — (d — b) (d + b). 
Donc 
(a — c) : (d — b) : : (d + b) : (a + c). 
Si nous faisons la somme des carrés de ces quatre 
termes nous trouverons : 
a* — 2 ac + c 2 + d 2 — 2 bd + b 2 + d 2 + 2 bd + b 2 + a 2 + 
2ac + c 2 = 2a 2 + 2c 2 + + 2à 2 = 2N + 2N^4N. 
Pour retrouver simplement N, il faut prendre la moitié 
de chacun des termes de notre proportion, et écrire 
