F.-L.-FRÉD. CHAYÀNNES. 
482 BULL, 
SEP. 6 
Si N est de la forme 4e, alors a , h, c, cl seront tous des 
nombres pairs, et par conséquent les quatre termes de 
notre proportion (A) seront entiers. 
Si N est de la forme 4e + 2, alors a, b, c, d seront tous 
des nombres impairs et les quatre termes de notre pro¬ 
portion (À) seront encore entiers. 
Si N est de la forme 4e + 1, l’un des nombres a et b 
sera pair et l’autre impair; il en sera de même de c et d. 
Prenons a et c pour les nombres pairs, b et d seront les 
nombres impairs et les quatre termes de notre proportion 
seront encore entiers. 
Nous pouvons ainsi mettre notre proportion (A) sous la 
forme générale des proportions dont les termes sont en¬ 
tiers, savoir: 
ay : \ \ ad : j3d. 
La somme des quatre carrés que nous savons être 
égale à N, sera donc « 2 r 2 + /? 2 r 2 + « 2 <^ 2 -b /^ 2 = 
(« 2 _j_ £2) (j2 _[_ a j ns i ? 
N = (« 2 + /3 2 ) ( r 2 + <T 2 ). G.Q.F.D. 
Nous tirons de là : un nombre premier ne peut être dé¬ 
composé en la somme de deux carrés que d'une seule ma¬ 
nière. 
IV. Notre égalité 
a 2 + 6 2 = c 2 + d 2 
qui nous a donné a 2 — c 2 — d % — b* 9 nous donne aussi 
a a ——6* 
ou, ce qui revient au même, 
(<a — d) (a + d) — (c — b) (c + b), 
d’où nous avons la proportion : 
