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Or ce dernier membre de nos égalités successives n’est 
autre chose que la somme des carrés des quatre termes 
de notre proportion donnée. 
Nous obtenons ainsi ce théorème : Dans toute propor¬ 
tion, si Von fait la somme des trois premiers termes, si 
Von retranche algébriquement cette somme du quatrième 
terme, et si Von prend la moitié de cette différence ; si en¬ 
suite on ajoute algébriquement ce résultat aux trois pre¬ 
miers termes, et qu’on le retranche algébriquement du 
quatrième : 
1° Les quatre nombres ainsi obtenus sont en proportion, 
2° La somme des carrés des termes de la première pro¬ 
portion est égale à la somme des carrés des termes de la 
seconde. Les deux proportions sont conjuguées. 
Il peut arriver que la somme des trois premiers termes 
soit égale au quatrième; dans ce cas la différence est 
nulle et les deux proportions conjuguées sont identiques. 
Ceci revient à dire que, la différence c — d étant nulle, 
c = d et N = 2 c 2 . En effet si l’on met à la place de d son 
égal c , dans les deux proportions (A) et (B), on verra 
qu’elles deviennent identiques. 
VI. Reprenons la suite de notre calcul principal. 
Tout nombre premier autre que 2 est de la forme 
4e—1 ou de la forme 4e+ 1. 
Nous savons qu’aucun nombre de la forme 4e — 1 ne 
peut être la somme de deux carrés. 
Depuis Fermât on sait que tout nombre premier de la 
forme 4e +1 est égal à la somme de deux carrés. Euler 
le premier a donné une démonstration de ce théorème. 
Supposons que les facteurs premiers de N soient tous 
inégaux et de la forme 4e+ 1 , chacun de ces facteurs 
