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Supposons le cas particulier où l’on a = 0. La pro¬ 
posée devient alors de la forme 
Æ 2 + y 2 zz: «2 ( r 2 £2) 
et les valeurs de x et de y se réduisent à 
x = œf, y = 
ce qui du reste dérive directement de la forme que la 
proposée a revêtue. 
Nous verrons bientôt à quels cas cette observation est 
applicable. 
VIII. Il résulte de ce que nous venons de voir, que 
lorsque l’on veut résoudre une équation donnée en nombres, 
+ y 2 = N, 
il faut chercher les facteurs premiers de N. Désignons ces 
facteurs par p, p', p“, p"'...., nous avons ainsi N = 
pp , p‘ , p‘“ .... Voyons ce qui a lieu suivant les diverses sup¬ 
positions que l’on peut faire sur la nature de ces facteurs 
premiers. 
a) Supposons d’abord qu’aucun de ces facteurs n’étant 
égal à 2, il y en ait un seul de la forme 4e — 1, et que 
ce soit le facteur p. Ce facteur n’étant pas résoluble en la 
somme de deux carrés, il n’y a pas lieu d’appliquer le 
calcul du § VI. Ainsi N ne peut être égal à la somme de 
deux carrés. Ce résultat est confirmé par la remarque sui¬ 
vante. Tous les facteurs p ', p ", p‘“... sont d’après notre 
supposition, de la forme 4c + 1; leur produit p'p“p”\. t 
est en consépuence de la forme 4c+ 1. Il s’ensuit que le 
produit pxp , p ,, p ,,i ... ayant deux facteurs, l’un de la forme 
4c — 1 et l’autre de la forme 4c -(-1, sera lui-même de la 
forme 4c—1. C’est-à-dire que N, qui est égal b.pxp'p"p l “ 
ne sera pas résoluble en la somme de deux carrés. 
