DES CONES DU SECOND DEGRÉ. 45 
la droite donnée sera la polaire de ce le plan donné sera le plan directeur 
plan cyclique par rapport au cône. correspondant à cette ligne focale. 
Ces deux propositions sont les réciproques des deux théo¬ 
rèmes [34]. 
Il suffit de démontrer la première. 
Pour cela, soit mené un plan transversal parallèle au plan 
donné; il rencontrera la droite donnée en un point A et le 
plan mobile suivant une droite D. 
Le sinus de l’angle que ce plan mobile fait avec la droite 
fixe, est égal à la perpendiculaire abaissée du point A sur 
le plan mobile divisée par AO (O étant le point de rencontre 
du plan et de la droite donnée, autour duquel tourne le 
plan mobile) 5 le sinus de l’angle que ce plan mobile fait avec 
le plan transversal, est égal à la même perpendiculaire di¬ 
visée par la distance du point A à la droite D. Le rapport 
des deux sinus est donc égal à cette distance du point A à 
la droite D divisée par la distance OA 5 ce rapport est con¬ 
stant par hypothèse ; la distance OA est également constante; 
il s'ensuit que la distance du point A à la droite D est con¬ 
stante. Ainsi la trace du plan mobile sur le plan transversal, 
est constamment à la même distance du point A 5 ce qui 
prouve que cette trace roule sur un cercle ayant son centre 
au point A; le cône enveloppe du plan mobile est donc du 
second degre, et a un plan cyclique parallèle au plan trans¬ 
versal, et la droite OA est la polaire de ce plan cyclique; ce 
qui démontre le théorème. 
[ 55 ] Remarquons dans le second des deux théorèmes pré- 
