NOTE. 
(Numéros 17 et 53.) 
Théorème. Si d’un point fixe on mène des rayons aboutissans à différens 
points d'un plan donne , et qu'on prenne sur ces rayons des points dont les 
distances au point fixe soient respectivement proportionnelles aux valeurs in¬ 
verses de ces rayons , ces points seront tous sur une sphère qui passera par le 
point fixe , et aura son centre sur la perpendiculaire abaissée de ce point sur 
le plan. 
En effet, soit O le point fixe, P le pied de la perpendiculaire abaissée de ce 
point sur le plan donné, et M un point quelconque de ce plan ; prenons sur 
les rayons OP, OM, deux points p, m, tels que op , om soient proportionnels à 
ÔP ’ ÔM ’ c ’ est ‘ à ' dire tels <I ue Von ait °P = ^ , O m = ^ (a étant une 
constante); on aura Op. OP = Om. OM, d’où — = —. Cela fait voir 
Op OM 
que les deux triangles OPM, Opm qui ont l’angle en O commun sont sembla¬ 
bles; 1 angle m du second est donc égal à l’angle P du premier; or, cet angle 
P est droit, l’angle m est donc aussi droit; ce qui prouve que le point m est 
sur la sphère décrite sur Op comme diamètre. Le théorème est donc démontré. 
