REPRÉSENTATION DES IMAGINAIRES 
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L’étude qui vient d’être faite peut se résumer comme il suit : 
La double infinité de droites appartenant à la congruence (1) 
se groupe selon une infinité d’hyperboloïdes à une nappe. Ces 
surfaces forment un faisceau passant par les directrices des 
congruences 'o = (a zh bi) J + h -f- ki ; une série de leurs sections 
circulaires est parallèle au plan xy, et leurs cônes tangents 
concentriques sont coupés par des plans parallèles au plan xy 
selon un système de sections coniques homofocales, pourvu que 
le centre commun se trouve en dehors du plan xy. En parti - 
entier, les sections coniques homofocales représentant le contour 
apparent des hyperboloïcles sur le plan xy ont pour foyers 
les points doubles de ce plan correspondant aux congruences 
r, — (a ± bi) \ + h H- ki. 
Il resterait encore à examiner les cas particuliers : 1° h=k=0, 
2° 6=0, 3° a= 1, 6 = 0. Dans le cas 2° les droites dans l’espace 
forment une gerbe, et dans le cas 3° elles sont toutes parallèles. 
On n’entrera pas ici dans les détails de cette étude qui, du 
reste, n’offre aucune difficulté. 
SECONDE PARTIE 
Courbes imaginaires. 
Soit l’équation d’une courbe 
( 1 ) »=/©• 
En séparant les parties réelles et imaginaires, on peut la mettre 
sous la forme 
X + Yi = cp (x, y) + v\> (x, y). 
Pour que le point (a + jS i, y + fasse partie de cette courbe, 
il faut que les quantités a, |3, y, § satisfassent aux conditions 
( 2 ) 
i 7 = ?.(«, P) 
{ d = + (a, jS) 
Par ces deux équations, y et § sont déterminés en fonction de 
a et f3 que l’on peut, en conséquence, envisager comme des va¬ 
riables indépendantes. Si l’on donne à a et [2 toutes les valeurs 
possibles, les équations 
( 3 ) 
x — a _ y — /3 
y — a § — |S 
