Or, lorsque 
REPRÉSENTATION DES IMAGINAIRES 
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7. = F (a, (3) = 0 
le point (a, jS) se meut sur une courbe dans le plan xy. Alors 
les équations (10 a ) représentent en général une courbe gauche 
réelle et les droites (3), tangentes à cette courbe, forment une 
surface développable dont la trace sur le plan xy est donnée 
par l’équation F (a, /2) = 0. La courbe gauche devient plane ou 
se décompose en plusieurs courbes planes chaque fois que la 
courbe F (a,/3) = 0 dégénère en une ou plusieurs lignes droites. 
Les deux nappes de la surface, bien qu’imaginaires, peuvent 
cependant se couper suivant une courbe réelle. Pour un point 
d’intersection les deux valeurs de z dans la formule (8) doivent 
être égales, ce qui n’est possible que lorsque y 2 = 0. Par consé¬ 
quent, la courbe gauche répondant à l’hypothèse y 2 = 0 n’est 
autre que l’intersection réelle des, deux nappes imaginaires de 
la surface S. 
Dans le but d’établir la correspondance entre les valeurs de 
m et de x, y, z, on posera dans la première des équations (5) 
= m et on la résoudra par rapport à z, ce qui donnera 
aot 
1 
z =-. 
1— 7i—■ m 7% 
En écrivant encore £ à la place de zh i pour éviter dans la suite 
le double signe de i, on voit qu’à la valeur m = s correspond la 
valeur 
1 
z =-. 
1 7i £ 7a 
Mais on se souvient qu’au point (x, y, z) répondant à cette valeur 
de z, la trace sur le plan xy du plan tangent à la surface S n’a 
pas pour coefficient angulaire s, mais bien — s. Il s’ensuit qu’en 
désignant par £, y?, Ç les coordonnées courantes, les génératrices 
de la surface S possèdent les équations 
(11) Ç = *, n — V = — £ (? — x) 
ou en remplaçant x, y, z par leurs valeurs 
b — i » 
1-7 £ 'A 
5 — j3 = _ . 
1 — y* — £ y* 
v-l 3 - 
1 - 7 . — e 7* 
