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le rapport des éléments linéaires aux points correspondants yi 
et \ est égal à la valeur absolue de et l’élément dn fait avec 
l'élément d% un angle qui est égal à la déviation de . Entre le 
plan supérieur et le plan inférieur la similitude dans les parties 
infiniment petites règne partout, à l’exception des points X = 0 
et X = ^ Posant 
X == % yi , y] = X -f- Y ij 
l’équation (1) devient 
(æ + yif = 2p (X + Yi), 
d’où l’on tire 
( 2nX = x* — u 2 
( 2 ) \ F , 
( 2pY = 2 xy. 
Ces relations montrent qu’à des lignes droites parallèles aux 
axes coordonnés dans le plan supérieur correspondent dans le 
plan inférieur des hyperboles équilatères qui, en vertu de la si¬ 
militude dans les parties infiniment petites, se coupent sous un 
angle droit. Deux quelconques de ces courbes orthogonales se 
coupent en deux points réels. Il s’ensuit qu’à chaque point du 
plan supérieur correspondent en général deux points du plan 
inférieur, symétriques par rapport au centre O. La même chose 
ressort directement de l’équation (1) ou des formules 
x = Yp\/ X + /XH-Y 2 
y = Ÿp L-xY/xî+fï 
déduites des équations (2). 
Soit 
alors on a 
puis 
y = æ tg y. , 
i 2pX = (1 — tg 2 fi) x 2 
( 2pY =f 2 tg y. x 2 , 
2 tg fi 
1 ~ tg 2 fi 
Par conséquent, lorsque le point X parcourt la droite y = xtgy, 
son image 'o décrit cette autre droite Y = X tg 2y. Mais tandis 
