REPRÉSENTATION DES IMAGINAIRES 43 
que le point £ se meut sur la droite entière, le point ri est res¬ 
treint à un rayon partant de l’origine. 
Afin de faciliter le langage, ces droites seront désignées dans 
la suite respectivement par y. et 2 p. 
Si l’on pose 
x — r cos 9 
y — r sin cp, 
il suit 
r 2 
X = — (cos 2 cp — sin 2 cp) = — cos 2cp 
2p v T T/ 2 p 
. T 2 
Y — — 2 sin cp cos cp = —- sin 2cp 
2 p 1 1 2p 
Il s’ensuit que lorsque le point £ parcourt une fois la circonfé¬ 
rence de rayon r 
a ; 2 + t/* = r 2 , 
ri décrit deux fois la circonférence de rayon 
2 p 
X 2 
Y 2 = —. 
4p* 
Ceci établi, il serait facile de construire des points corres¬ 
pondants. En effet, si l’on projette comme précédemment le 
plan supérieur sur le plan inférieur, la figure (3) montre la posi¬ 
tion relative d’un point (X, Y) et des deux points correspon¬ 
dants (x, y ) et (— x, — y). 
La correspondance entre les points des deux plans est parfai¬ 
tement établie, si l’on donne par exemple un point B' sur la 
droite 2y. et les points correspondants B et B, sur la droite p. 
Or, pour construire tous les points correspondants situés sur les 
droites y et 2y., on peut procéder de la manière suivante (fig. 4). 
Sur la droite y se trouve une involution AA,, BB,, CC,, etc., 
dont les points doubles sont l’origine et le point à l’infini. D’un 
point S sur une circonférence quelconque dans le plan, on la 
projette sur celle-ci. Par là on détermine une involution curvi¬ 
ligne dont le pôle P est le point d’intersection des sécantes joi¬ 
gnant les couples de points conjugués. Le faisceau formé par 
les sécantes est projectif avec la ponctuelle simple A', B', C', etc., 
sur la droite 2p. En le coupant par une droite quelconque, on 
est en présence de deux ponctuelles projectives A", B f/ , G",., 
