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H. AMSTEIN 
A'. B', C'.et dès lors il est facile de construire autant de points 
correspondants que l’on voudra. 
Si maintenant on demandait de construire les points D et D,, 
correspondant au point donné I)', on chercherait d’abord D"; ce 
point trouvé, on aurait la sécante PD f/ , d’où l’on remonterait 
aisément aux points cherchés. Dans la figure (4), on s’est servi 
des points doubles de l’involution AA*, BB,.pour déterminer 
le pôle P, ce qui simplifie un peu les opérations. 
La construction indiquée est encore utile, lorsque le point 
donné E' n’appartient pas à la droite 2p. En effet, dans ce cas, 
on mènera la droite OE' ; alors les points E et E, seront situés 
sur la bissectrice de l’angle E'OX. Pour les trouver, il suffit de 
transporter le point E' sur la droite 2p, moyennant un arc de 
cercle dont le centre est O et le rayon OE', de construire sur la 
droite p les points correspondants et de les ramener ensuite à 
leur place. 
Cette construction deviendra en partie superflue, quand on 
connaîtra l’enveloppe des droites joignant les points de la droite 
p aux points correspondants de la droite 2p. A cet effet, soient 
x et y = x tg p 
les coordonnées d’un point quelconque de la droite p ; les coor¬ 
données du point correspondant de la droite 2 p seront 
X 
2p 
Y = t ^x ! 
P 
et la droite, déterminée par ces points, aura pour équation 
Y— w 
y = 
X — X 
(«— x ) 
ou 
(3) æ 2 sin p + x cos p (yj cos 2 p — \ sin 2p) -p 
-f- 2p cos 2 p sin p — yj cos p) = 0. 
En la différentiant par rapport à x 
(3 a ) 2x sin p + cos p (*/? cos 2 p — \ sin 2p) = 0 
et en éliminant ensuite x entre les équations (3) et (3 a ), il vient 
(4) (l sin 2 p — yj cos 2 pf = 8 p sin p (£ sin p — 'n cos p). 
Telle est l’enveloppe des droites (3). Si, dans cette équation, on 
