REPRÉSENTATION DES IMAGINAIRES 45 
regarde p comme variable, elle représente un système de para¬ 
boles. Par la transformation à l’aide des formules 
( £ sin 2p — n cos 2 p = Y 4 - 2 p sin 2 p. 
( ^ cos 2p + yj sin 2p = X 4- 2p cos 2 p, 
d’où l’on tire 
j J = (X + 2p cos 2 p) cos 2 u 4 - (Y 4 - 2 p sin 2p) sin 2 p 
( */7 = (X 4 - 2^9 cos 2 p) sin 2 p — (Y 4 - 2jp sin 2 p) cos 2p 
l’équation (4) prend la forme 
Y 2 = — 8 p sin 2 p X 
Cette équation montre que les coordonnées du foyer de l’une 
quelconque des paraboles sont 
Y = 0 , X =± — 2p sin 2 p 
et que sa directrice possède l’équation 
X = 2p sin 2 p. 
Au moyen des coordonnées \, y) , le foyer est donné par 
Z = 2p, >7 = 0 
et la directrice par l’équation 
J cos 2 p 4 - y? sin 2 p = 2 p. 
Il s’ensuit que toutes ces paraboles ont un foyer commun et 
que leurs directrices enveloppent une circonférence dont l’ori¬ 
gine est le centre et le rayon = 2 p (voir fig. 5). Elles passent 
toutes par l’origine, et en ce point la droite p est une tangente 
à la courbe correspondante, tandis que la droite 2 p en est un 
diamètre. La construction de ces paraboles est donc des plus 
faciles. D’une propriété très connue de la parabole, ainsi que 
des formules 
x = i-tgv^ Y = 
2 p p 
qui ne renferment x qu’au carré, on conclut qu’on aurait obtenu 
la même parabole enjoignant le point (X, Y) au point (— x, — y). 
Cette observation permet de construire facilement des points 
correspondants sur les droites p et 2 p. En effet, pour trouver 
sur la droite p les points A et A, correspondant à un point A' 
donné sur le diamètre 2p, il suffit de mener par A' les deux 
