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H. AMSTEIN 
tangentes à la parabole; celles-ci couperont la droite (jl aux 
deux points cherchés. 
Cette construction devient illusoire lorsque [x = 0 ou p = 7r, 
car dans ces cas la parabole se réduit à la droite y = 0. D’ail¬ 
leurs, c’est sur cette droite que sont situés les points doubles du 
plan, à savoir l’origine et le foyer des paraboles. On trouve ces 
points caractéristiques en posant n — % dans l’équation (1), ou 
X == x, Y — y dans les équations (2), ce qui donne 
5 = 0; Ê = 2 p 
ou 
x — y = 0 ; x = 2p, y — 0. 
L’équation (4) est susceptible de la forme suivante 
(£ cos 2[JL + r, sin 2 [x — 2 pf — (£ — 2 pf + >? 2 = 
= [/? + i (£ — 2jp>] [>? — «(£ — 2 |p)] 
Cette forme prouve que les droites imaginaires Y} = zti{% —2 p) 
sont des tangentes communes à toutes les paraboles en question. 
Il sera possible d’établir plus loin la connexion entre ces deux 
droites et les génératrices de la surface à deux nappes S répon¬ 
dant à la congruence (1). 
Les droites de la congruence (1) qui joignent les points de la 
droite 2^, remise dans le plan supérieur, aux points correspon¬ 
dants de la droite /a, engendrent une surface réglée, dont 
l’équation s’obtient en éliminant x entre les équations 
l — x __ m — xtg[x _ 
|-0 — tg»—* —tgp—Xtgfl 
2 p p 
ou 
(5) 
X^(^i 
v — x (1 — Ç) tg fl — — tgft 
l- x\\ -Ç) =p-tg W . 
On trouve d’abord 
y] — x (1 — 0 tg y. __ 
g—#;(! —O 
tg 2y., 
a? 
£ sin 2 y. — r, cos 2 y. 
(1—0 tg fA 
d’où l’on tire 
