REPRÉSENTATION DES IMAGINAIRES 
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•est donnée par les formules 
a 2 -b 2 3f 
X — -:- COS 3 
a 
à 2 — ¥ 
sin 3 
Or, il y a identité entre cette courbe et la courbe trouvée,'si 
a et b satisfont aux équations 
2 rp _ à 2 — b 2 
p -f- t“ a 
! 2 rp _ a 2 — b 2 
p — r 2 b 
sous la condition p < r 2 . Mais en remplaçant ^ par — ^, c’est- 
à-dire en comptant l’angle en sens inverse, on voit que dans 
le cas où p > r 2 , il suffit de substituer à la seconde des équa¬ 
tions (8) la suivante 
2 rp a 2 — b 2 
r 2 — p b 
pour obtenir une valeur positive de b. On en conclut que les 
ellipses en question et par conséquent aussi leurs développées 
(7) sont les mêmes pour r 2 > p et r 2 < p. Lorsque r~ = p , le 
petit axe de l’ellipse se réduit à zéro. Dans cette hypothèse, les 
points (x, y) et (X, Y) se meuvent sur la même circonférence 
passant par les points doubles du plan et les droites (5) dont on 
a cherché l’enveloppe, sont parallèles. 
Des équations (8) on tire 
r 2 +/s r^ — p 
a —- , b =- -, 
2 r 2 r 
puis 
or — b* = p 
11 s’ensuit que les ellipses dont les courbes (7) représentent 
les développées sont homofocales, et que leurs foyers sont les 
points doubles du plan. 
On pourrait établir maintenant l’équation de la surface S, à 
laquelle les droites de la congruence (1) sont tangentes doubles. 
Mais comme cette surface est imaginaire, elle offre peu d’intérêt. 
Il n’en est pas de même des courbes réelles suivant lesquelles 
